Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер




08.03.2021


08.03.2021


08.03.2021


08.03.2021


08.03.2021





Яндекс.Метрика





         » » Процесс Пуассона

Процесс Пуассона

04.02.2021

Процесс Пуассона, поток Пуассона, пуассоновский процесс — ординарный поток однородных событий, для которого число событий в интервале А не зависит от чисел событий в любых интервалах, не пересекающихся с А, и подчиняется распределению Пуассона. В теории случайных процессов описывает количество наступивших случайных событий, происходящих с постоянной интенсивностью.

Вероятностные свойства потока Пуассона полностью характеризуются функцией Λ(А), равной приращению в интервале А некоторой убывающей функции. Чаще всего поток Пуассона имеет мгновенное значение параметра λ(t) — функцию, в точках непрерывности которой вероятность события потока в интервале [t,t+dt] равна λ(t)dt. Если А — отрезок [a,b], то

Λ ( A ) = ∫ a b λ ( t ) d t {displaystyle Lambda (A)=int limits _{a}^{b}lambda (t),dt}

Поток Пуассона, для которого λ(t) равна постоянной λ, называется простейшим потоком с параметром λ.

Потоки Пуассона определяются для многомерного и вообще любого абстрактного пространства, в котором можно ввести меру Λ(А). Стационарный поток Пуассона в многомерном пространстве характеризуется пространственной плотностью λ. При этом Λ(А) равна объему области А, умноженному на λ.

Классификация

Различают два вида процессов Пуассона: простой (или просто: процесс Пуассона) и сложный (обобщённый).

Простой процесс Пуассона

Пусть λ > 0 {displaystyle lambda >0} . Случайный процесс { X t } t ≥ 0 {displaystyle {X_{t}}_{tgeq 0}} называется однородным Пуассоновским процессом с интенсивностью λ {displaystyle lambda } , если

  • X 0 = 0 {displaystyle X_{0}=0} почти наверное.
  • { X t } {displaystyle {X_{t}}} — процесс с независимыми приращениями.
  • X t − X s ∼   P ( λ ( t − s ) ) {displaystyle X_{t}-X_{s}sim mathrm {P} (lambda (t-s))} для любых 0 ≤ s < t < ∞ {displaystyle 0leq s<t<infty } , где P ( λ ( t − s ) ) {displaystyle mathrm {P} (lambda (t-s))} обозначает распределение Пуассона с параметром λ ( t − s ) {displaystyle lambda (t-s)} .
  • Сложный (обобщённый) пуассоновский процесс

    • Пусть ξ 1 , . . . , ξ n {displaystyle xi _{1},...,xi _{n}} последовательность взаимно независимых одинаково распределённых случайных величин.
    • Пусть N ( t ) {displaystyle N(t)} — простой пуассоновский процесс с интенсивностью λ {displaystyle lambda } , не зависящий от последовательности ξ 1 , . . . , ξ n {displaystyle xi _{1},...,xi _{n}} .

    Обозначим через S k {displaystyle S_{k}} сумму первых k элементов введённой последовательности.

    Тогда определим сложный Пуассоновский процесс { Y t } {displaystyle {Y_{t}}} как S N ( t ) {displaystyle S_{N(t)}} .

    Свойства

    • Времена между моментами скачков независимы и имеют экспоненциальное распределение Exp ( λ ) {displaystyle { ext{Exp}}(lambda )} .
    • Пуассоновский процесс принимает только неотрицательные целые значения, и более того
    P ( X t = k ) = λ k t k k ! e − λ t , k = 0 , 1 , 2 , … {displaystyle mathbb {P} (X_{t}=k)={frac {lambda ^{k}t^{k}}{k!}}e^{-lambda t},quad k=0,1,2,ldots } ,

    то есть момент k {displaystyle k} -го скачка имеет гамма-распределение Γ ( λ , k ) {displaystyle { ext{Γ}}(lambda ,k)} .

    • Траектории процесса Пуассона — кусочно-постоянные, непрерывные справа, неубывающие функции со скачками равными единице почти наверное. Более точно
    P ( X t + h − X t = 0 ) = 1 − λ h + o ( h ) {displaystyle mathbb {P} (X_{t+h}-X_{t}=0)=1-lambda h+o(h)} P ( X t + h − X t = 1 ) = λ h + o ( h ) {displaystyle mathbb {P} (X_{t+h}-X_{t}=1)=lambda h+o(h)} P ( X t + h − X t > 1 ) = o ( h ) {displaystyle mathbb {P} (X_{t+h}-X_{t}>1)=o(h)} при h → 0 {displaystyle h o 0} ,

    где o ( h ) {displaystyle o(h)} обозначает «о малое».

    Критерий

    Для того чтобы некоторый случайный процесс { X t } {displaystyle {X_{t}}} с непрерывным временем был пуассоновским (простым, однородным) или тождественно нулевым достаточно выполнение следующих условий:

  • X 0 = 0 {displaystyle X_{0}=0} .
  • Процесс имеет независимые приращения.
  • Процесс однородный.
  • Процесс принимает целые неотрицательные значения.
  • P { X h ≥ 2 } = o ( h ) {displaystyle P{X_{h}geq 2}=o(h)} при h ↘ 0 {displaystyle hsearrow 0} .
  • Информационные свойства

    • Пусть τ 1 , … , τ n {displaystyle au _{1},dots , au _{n}} — моменты скачков процесса Пуассона. T = τ j − τ j − 1 {displaystyle T= au _{j}- au _{j-1}} .

    Зависит ли T {displaystyle T} от предыдущей части траектории?
    P ( { T > t + s ∣ T > s } ) {displaystyle mathbb {P} ({T>t+smid T>s})} — ?

    Пусть u ( t ) = P ( T > t ) {displaystyle u(t)=mathbb {P} (T>t)} .

    u ( t ∣ s ) = P ( T > t + s ∩ T > s ) P ( T > s ) = P ( T > t + s ) P ( T > s ) {displaystyle u(tmid s)={frac {mathbb {P} (T>t+scap T>s)}{mathbb {P} (T>s)}}={frac {mathbb {P} (T>t+s)}{mathbb {P} (T>s)}}}
    u ( t ∣ s ) u ( s ) = u ( t + s ) {displaystyle u(tmid s)u(s)=u(t+s)}
    u ( t ∣ s ) = s ( t ) ⇔ u ( t ) = e − α t {displaystyle u(tmid s)=s(t)Leftrightarrow u(t)=e^{-alpha t}} .
    Распределение длин промежутков времени между скачками обладает свойством отсутствия памяти ⇔ оно показательно.

    • Рассмотрим отрезок [ a , b ] {displaystyle [a,b]} на временной оси.

    X ( b ) − X ( a ) = n {displaystyle X(b)-X(a)=n} — число скачков на отрезке [ a , b ] {displaystyle [a,b]} .
    Условное распределение моментов скачков τ 1 , … , τ n ∣ X ( b ) − X ( a ) = n {displaystyle au _{1},dots , au _{n}mid X(b)-X(a)=n} совпадает с распределением вариационного ряда, построенного по выборке длины n {displaystyle n} из R [ a , b ] {displaystyle R[a,b]} .

    Плотность этого распределения f τ 1 , … , τ n ( t ) = n ! ( b − a ) n I ( a ⩽ t 1 ⩽ ⋯ ⩽ t n ⩽ b ) {displaystyle f_{ au _{1},dots , au _{n}}(t)={frac {n!}{(b-a)^{n}}}mathbb {I} (aleqslant t_{1}leqslant cdots leqslant t_{n}leqslant b)}

    Центральная предельная теорема

    • Теорема.

    P ( X ( t ) − λ t λ t < x ) ⇉ x λ t → ∞ Φ ( x ) ∼ N ( 0 , 1 ) = 1 2 π ∫ − ∞ x e − u 2 2 d u {displaystyle mathbb {P} {iggl (}{frac {X(t)-lambda t}{sqrt {lambda t}}}<x{iggr )}{underset {lambda t o infty }{overset {x}{ ightrightarrows }}}Phi (x)sim N(0,1)={frac {1}{sqrt {2pi }}}int _{-infty }^{x}e^{-{frac {u^{2}}{2}}}du}

    Скорость сходимости:
    sup x | P ( X ( t ) − λ t λ t < x ) − Φ ( x ) | ⩽ C 0 λ t {displaystyle sup limits _{x}{iggl |}mathbb {P} {iggl (}{frac {X(t)-lambda t}{sqrt {lambda t}}}<x{iggr )}-Phi (x){iggr |}leqslant {frac {C_{0}}{sqrt {lambda t}}}} ,
    где C 0 {displaystyle C_{0}} — константа Берри-Эссеена.

    Применение

    Поток Пуассона служит для моделирования различных реальных потоков: несчастных случаев, потока заряженных частиц из космоса, отказов оборудования и других. Так же возможно применение для анализа финансовых механизмов, таких как поток платежей и других реальных потоков. Для построения моделей различных систем обслуживания и анализа их пригодности.

    Использование потоков Пуассона значительно упрощает решение задач систем массового обслуживания, связанных с расчетом их эффективности. Но необоснованная замена реального потока потоком Пуассона там, где это недопустимо, приводит к грубым просчетам.