Резонансный триплет

Резонансный триплет — универсальная динамическая система в теории нелинейных колебаний и волн. Необходимыми условиями формирования резонансного триплета в слабонелинейных системах, содержащих подходящую квадратичную нелинейность, являются условия фазового синхронизма

ω 1 = ω 2 + ω 3 ; {displaystyle omega _{1}=omega _{2}+omega _{3};} k → 1 = k → 2 + k → 3 , {displaystyle {vec {k}}_{1}={vec {k}}_{2}+{vec {k}}_{3},}

где ω i {displaystyle omega _{i}} — собственные частоты и k → i {displaystyle {vec {k}}_{i}} — волновые векторы связаны дисперсионным соотношением. Эволюционные уравнения для комплексных амплитудных огибающих квазигармонических волн таковы

d A 1 d τ = − β ω 1 − 1 A 2 A 3 ; {displaystyle {frac {dA_{1}}{d au }}=-eta omega _{1}^{-1}A_{2}A_{3};} d A 2 d τ = β ω 2 − 1 A 1 A 3 ∗ ; {displaystyle {frac {dA_{2}}{d au }}=eta omega _{2}^{-1}A_{1}A_{3}^{*};} d A 3 d τ = β ω 3 − 1 A 1 A 2 ∗ , {displaystyle {frac {dA_{3}}{d au }}=eta omega _{3}^{-1}A_{1}A_{2}^{*},}

где левые части системы представляются полными производными вдоль соответствующих характеристик, определяемых групповыми скоростями тройки волн. Здесь A i {displaystyle A_{i}} — комплексные амплитуды компонентов этой тройки, β {displaystyle eta } — коэффициент нелинейности.

Важнейшее свойство резонансного триплета — так называемая распадная неустойчивость высокочастотной компоненты триплета (на несущей частоте ω 1 {displaystyle omega _{1}} ) по отношению к малым возмущениям со стороны низкочастотных компонент (на частотах ω 2 {displaystyle omega _{2}} и ω 3 {displaystyle omega _{3}} ). При этом полная энергия резонансного триплета сохраняется. Перераспределение энергии между модами резонансного триплета описывается известными частотно-энергетическими соотношениями Менли — Роу.