Теорема Хольмгрена

Теорема Хольмгрена — теорема о единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения с частными производными в случае аналитичности коэффициентов дифференциального оператора.

Формулировка

Рассмотрим пространство R n + 1 {displaystyle R^{n+1}} . Обозначим D ϵ {displaystyle D_{epsilon }} область пространства R n + 1 ( x , t ) {displaystyle R^{n+1}(x,t)} такую, что | x | 2 + | t | < ϵ {displaystyle |x|^{2}+|t|<epsilon } . Обозначим оператор частного дифференцирования L ≡ ( d d t ) m + ∑ | ν | + j ⩽ m , j ⩽ m − 1 a ν , j ( x , t ) ( d d x ) ν ( d d t ) j {displaystyle Lequiv left({frac {d}{dt}} ight)^{m}+sum _{| u |+jleqslant m,jleqslant m-1}a_{ u ,j}(x,t)left({frac {d}{dx}} ight)^{ u }left({frac {d}{dt}} ight)^{j}} . Пусть все коэффициенты a ν , j ( x , t ) {displaystyle a_{ u ,j}(x,t)} оператора L {displaystyle L} аналитичны в окрестности U {displaystyle U} начала координат. Тогда существует такое ϵ 0 > 0 {displaystyle epsilon _{0}>0} , что если 0 < ϵ < ϵ 0 {displaystyle 0<epsilon <epsilon _{0}} и u ( x , t ) ∈ E m ( D ϵ ) {displaystyle u(x,t)in mathrm {E} ^{m}(D_{epsilon })} , причём L u = 0 {displaystyle Lu=0} в D ϵ {displaystyle D_{epsilon }} , ( d d t ) j u ( x , 0 ) = 0 {displaystyle left({frac {d}{dt}} ight)^{j}u(x,0)=0} , ( j = 0 , 1 , . . . , m − 1 ) {displaystyle (j=0,1,...,m-1)} , x ∈ D ϵ {displaystyle xin D_{epsilon }} , то u ( x , t ) ≡ 0 {displaystyle u(x,t)equiv 0} в D ϵ {displaystyle D_{epsilon }} .