Тождество четырёх квадратов

Тождество Эйлера о четырёх квадратах — разложение произведения сумм четырёх квадратов в сумму четырёх квадратов.

Формулировка

( a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 + a 4 2 ) ( b 1 2 + b 2 2 + b 3 2 + b 4 2 ) = = ( a 1 b 1 − a 2 b 2 − a 3 b 3 − a 4 b 4 ) 2 + ( a 1 b 2 + a 2 b 1 + a 3 b 4 − a 4 b 3 ) 2 + + ( a 1 b 3 − a 2 b 4 + a 3 b 1 + a 4 b 2 ) 2 + ( a 1 b 4 + a 2 b 3 − a 3 b 2 + a 4 b 1 ) 2 . {displaystyle {egin{aligned}&(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+b_{4}^{2})=&=(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4})^{2}+(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3})^{2}+&+,(a_{1}b_{3}-a_{2}b_{4}+a_{3}b_{1}+a_{4}b_{2})^{2}+(a_{1}b_{4}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}+a_{4}b_{1})^{2}.end{aligned}}}

Это тождество выполняется для элементов любого коммутативного кольца. Однако если a i {displaystyle a_{i}} и b i {displaystyle b_{i}} — вещественные числа, тогда тождество может быть переформулировано в терминах кватернионов, а именно: модуль произведения двух кватернионов равен произведению модулей сомножителей:

| a ⋅ b | = | a | ⋅ | b | {displaystyle |acdot b|=|a|cdot |b|} .

Аналогичные тождества

• «тождество одного квадрата»

a 2 ⋅ b 2 = ( a b ) 2 {displaystyle a^{2}cdot b^{2}=(ab)^{2}} означает, что модуль произведения двух действительных чисел равен произведению модулей сомножителей: | a b | = | a | | b | {displaystyle |ab|=|a||b|} ,

• «тождество двух квадратов» (т. н. тождество Брахмагупты)

( a 1 2 + a 2 2 ) ⋅ ( b 1 2 + b 2 2 ) = ( a 1 b 1 − a 2 b 2 ) 2 + ( a 1 b 2 + a 2 b 1 ) 2 {displaystyle (a_{1}^{2}+a_{2}^{2})cdot (b_{1}^{2}+b_{2}^{2})=(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2})^{2}+(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1})^{2}} означает, что модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению модулей сомножителей: | a b | = | a | | b | {displaystyle |ab|=|a||b|} ,

• «тождество восьми квадратов» означает, что модуль произведения двух октонионов равен произведению модулей сомножителей: | a b | = | a | | b | {displaystyle |ab|=|a||b|} .

Во всех этих случаях итоговые функции (чья сумма квадратов и равна произведению квадратов исходных сумм) есть билинейные функции исходных переменных.

Однако аналогичного «тождества шестнадцати квадратов» нет. Зато есть схожая (для 2N квадратов, где N — любое натуральное число) существенно иная форма, уже лишь для рациональных функции исходных переменных — по теореме А. Пфистера.

История

Тождество было выведено Эйлером в 1750 году — почти за 100 лет до появления кватернионов.

Это тождество было использовано Лагранжем в доказательстве его теоремы о сумме четырёх квадратов.