Главная
Пентагональный гексеконтаэдр (от др.-греч. πέντε — «пять», γωνία — «угол», ἑξήκοντα — «шестьдесят» и ἕδρα — «грань») — полуправильный многогранник (каталаново тело), двойственный курносому додекаэдру. Составлен из 60 одинаковых неправильных пятиугольников.
Имеет 92 вершины. В 12 вершинах (расположенных так же, как вершины икосаэдра) сходятся по 5 граней своими острыми углами; в 20 вершинах (расположенных так же, как вершины додекаэдра) сходятся по 3 грани теми тупыми углами, которые дальше от острого; в остальных 60 вершинах две грани сходятся своими тупыми углами, ближними к острому, и одна — тупым углом, дальним от острого.
-
12 вершин расположены так же, как вершины икосаэдра
-
20 вершин расположены так же, как вершины додекаэдра
У пентагонального гексеконтаэдра 150 рёбер — 60 «длинных» и 90 «коротких».
В отличие от большинства других каталановых тел, пентагональный гексеконтаэдр (наряду с пентагональным икоситетраэдром) является хиральным и существует в двух разных зеркально-симметричных (энантиоморфных) вариантах — «правом» и «левом».
Метрические характеристики и углы
При определении метрических свойств пентагонального гексеконтаэдра приходится решать кубические уравнения и пользоваться кубическими корнями — тогда как для ахиральных каталановых тел не требуется ничего сложнее квадратных уравнений и квадратных корней. Поэтому пентагональный гексеконтаэдр, в отличие от большинства других каталановых тел, не допускает евклидова построения. То же верно и для пентагонального икоситетраэдра, а также для двойственных им архимедовых тел.
В формулах ниже константа ξ {displaystyle xi } — единственный вещественный корень уравнения
8 x 3 + 8 x 2 = Φ 2 , {displaystyle 8x^{3}+8x^{2}=Phi ^{2},}где Φ = 1 + 5 2 {displaystyle Phi ={frac {1+{sqrt {5}}}{2}}} — отношение золотого сечения; этот корень равен
ξ = 1 12 ( 44 + 12 Φ ( 9 + 81 Φ − 15 ) 3 + 44 + 12 Φ ( 9 − 81 Φ − 15 ) 3 − 4 ) ≈ 0,471 5756. {displaystyle xi ={frac {1}{12}}left({sqrt[{3}]{44+12Phi ,(9+{sqrt {81Phi -15}})}}+{sqrt[{3}]{44+12Phi ,(9-{sqrt {81Phi -15}})}}-4 ight)approx 0{,}4715756.} Грань пентагонального гексеконтаэдраЕсли три «коротких» стороны грани имеют длину b {displaystyle b} , то две «длинных» стороны имеют длину
a = 1 + 2 ξ 2 ( 1 − 2 ξ 2 ) b ≈ 1,749 8526 b . {displaystyle a={frac {1+2xi }{2(1-2xi ^{2})}}bapprox 1{,}7498526b.}Площадь поверхности и объём многогранника при этом выражаются как
S = 30 ( 2 + 3 ξ ) 1 − ξ 2 1 − 2 ξ 2 b 2 ≈ 162,698 9642 b 2 , {displaystyle S={frac {30(2+3xi ){sqrt {1-xi ^{2}}}}{1-2xi ^{2}}};b^{2}approx 162{,}6989642b^{2},} V = 5 ( 1 + ξ ) ( 2 + 3 ξ ) ( 1 − 2 ξ 2 ) 1 − 2 ξ b 3 ≈ 189,789 8521 b 3 . {displaystyle V={frac {5(1+xi )(2+3xi )}{(1-2xi ^{2}){sqrt {1-2xi }}}};b^{3}approx 189{,}7898521b^{3}.}Радиус вписанной сферы (касающейся всех граней многогранника в их инцентрах) при этом будет равен
r = 1 2 1 + ξ ( 1 − ξ ) ( 1 − 2 ξ ) b ≈ 3,499 5278 b , {displaystyle r={frac {1}{2}}{sqrt {frac {1+xi }{(1-xi )(1-2xi )}}};bapprox 3{,}4995278b,}радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер) —
ρ = 1 + ξ 2 ( 1 − 2 ξ ) b ≈ 3,597 6248 b , {displaystyle ho ={sqrt {frac {1+xi }{2(1-2xi )}}};bapprox 3{,}5976248b,}радиус окружности, вписанной в грань —
r Γ P = ρ 2 − r 2 = 1 2 1 + ξ 1 − ξ b ≈ 0,834 3915 b , {displaystyle r_{Gamma mathrm {P} }={sqrt { ho ^{2}-r^{2}}}={frac {1}{2}}{sqrt {frac {1+xi }{1-xi }}};bapprox 0{,}8343915b,}диагональ грани, параллельная одной из «коротких» сторон —
e = ( 1 + 2 ξ ) b ≈ 1,943 1513 b . {displaystyle e=(1+2xi )bapprox 1{,}9431513b.}Описать около пентагонального гексеконтаэдра сферу — так, чтобы она проходила через все вершины, — невозможно.
Все четыре тупых угла грани равны arccos ( − ξ ) ≈ 118 , 14 ∘ ; {displaystyle arccos ,(-xi )approx 118{,}14^{circ };} острый угол грани (между «длинными» сторонами) равен arccos ( 8 ξ 2 − 8 ξ 4 − 1 ) ≈ 67 , 45 ∘ . {displaystyle arccos ,(8xi ^{2}-8xi ^{4}-1)approx 67{,}45^{circ }.}
Двугранный угол при любом ребре одинаков и равен arccos ξ ξ − 1 ≈ 153 , 18 ∘ . {displaystyle arccos ,{frac {xi }{xi -1}}approx 153{,}18^{circ }.}