Последовательность Майера — Вьеториса

Последовательность Майера — Вьеториса — естественная длинная точная последовательность, связывающая гомологии пространства с гомологиями двух покрывающих его открытых множеств и их пересечения.

Последовательность Майера — Вьеториса можно написать для различных теорий гомологий, в том числе сингулярных, а также для всех теорий, удовлетворяющих аксиомам Стинрода — Эйленберга.

Названа в честь двух австрийских математиков, Вальтера Майера и Леопольда Вьеториса.

Формулировка

Предположим, топологическое пространство X {displaystyle X} представляется как объединение открытых подмножеств A {displaystyle A} и B {displaystyle B} . Последовательность Майера — Вьеториса:

⋯ → H n + 1 ( X ) → ∂ ∗ H n ( A ∩ B ) → ( i ∗ , j ∗ ) H n ( A ) ⊕ H n ( B ) → k ∗ − l ∗ H n ( X ) → ∂ ∗ → ∂ ∗ H n − 1 ( A ∩ B ) → ⋯ → H 0 ( A ) ⊕ H 0 ( B ) → k ∗ − l ∗ H 0 ( X ) → 0. {displaystyle {egin{aligned}cdots ightarrow H_{n+1}(X),&{xrightarrow {partial _{*}}},H_{n}(Acap B),{xrightarrow {(i_{*},j_{*})}},H_{n}(A)oplus H_{n}(B),{xrightarrow {k_{*}-l_{*}}},H_{n}(X){xrightarrow {partial _{*}}}&quad {xrightarrow {partial _{*}}},H_{n-1}(Acap B) ightarrow cdots ightarrow H_{0}(A)oplus H_{0}(B),{xrightarrow {k_{*}-l_{*}}},H_{0}(X) ightarrow ,0.end{aligned}}}

Здесь отображения i : A ∩ B → A {displaystyle icolon Acap B o A} , j : A ∩ B → B {displaystyle jcolon Acap B o B} , k : A → X {displaystyle kcolon A o X} , l : B → X {displaystyle lcolon B o X} — отображения включения, и ⊕ {displaystyle oplus } обозначает прямую сумму абелевых групп.

Отображение границы ∂ ∗ {displaystyle partial _{*}} , понижающее размерность, может быть определено следующим образом. Элемент в H n ( X ) {displaystyle H_{n}(X)} представляется n {displaystyle n} -циклом x {displaystyle x} , который может быть записан как сумма двух n {displaystyle n} -цепей u {displaystyle u} и v {displaystyle v} , образы которых лежат полностью в A {displaystyle A} и B {displaystyle B} , соответственно. Этого можно добиться, применив к x {displaystyle x} барицентрическое подразделение несколько раз.

Таким образом, ∂ x = ∂ u + ∂ v = 0 {displaystyle partial x=partial u+partial v=0} , так что ∂ u = − ∂ v {displaystyle partial u=-partial v} . Заметим, что обе границы ∂ u {displaystyle partial u} и ∂ v {displaystyle partial v} лежат в A ∩ B {displaystyle Acap B} . Тогда ∂ ∗ [ x ] {displaystyle partial _{*}[x]} определяется как класс [ ∂ u ] ∈ H n − 1 ( A ∩ B ) {displaystyle [partial u]in H_{n-1}(Acap B)} . При этом выбор разложения x = u + v {displaystyle x=u+v} не влияет на значение [ ∂ u ] {displaystyle [partial u]} .

Замечания

• Отображения в последовательности зависят от выбора порядка для A {displaystyle A} и B {displaystyle B} .
  • В частности, отображение границы меняет знак, если A {displaystyle A} и B {displaystyle B} меняются местами.

Приложения

Гомологии сферы

Чтобы вычислить гомологии k-мерной сферы, представим сферу S k {displaystyle S^{k}} как объединение двух k-мерных дисков A {displaystyle A} и B {displaystyle B} с пересечением, гомотопически эквивалентным ( k − 1 ) {displaystyle (k-1)} -мерной экваториальной сфере S k − 1 {displaystyle S^{k-1}} . Поскольку A {displaystyle A} и B {displaystyle B} стягиваемы, из последовательности Майера — Вьеториса следует точность последовательностей

0 → H n ( S k ) → ∂ ∗ H n − 1 ( S k − 1 ) → 0 {displaystyle 0 ightarrow H_{n}(S^{k}){xrightarrow {partial _{*}}},H_{n-1}(S^{k-1}) ightarrow 0}

при n ⩾ 1 {displaystyle ngeqslant 1} . Точность сразу влечёт, что гомоморфизм ∂* является изоморфизмом при n ⩾ 1 {displaystyle ngeqslant 1} . Следовательно,

H n ( S k ) ≅ Z {displaystyle H_{n}(S^{k})cong mathbb {Z} } , если n = k , 0 {displaystyle n=k,0} , иначе H n ( S k ) ≅ 0 {displaystyle H_{n}(S^{k})cong 0}

Бутылка Клейна

Для вычисления гомологий бутылки Клейна представим её, как объединение двух лент Мебиуса A {displaystyle A} и B {displaystyle B} , склеенных вдоль их граничной окружности. Тогда A {displaystyle A} , B {displaystyle B} и их пересечение A ∩ B {displaystyle Acap B} гомотопически эквивалентны окружности. Нетривиальная часть последовательности дает

0 → H 2 ( X ) → Z   → α   Z ⊕ Z → H 1 ( X ) → 0 {displaystyle 0 ightarrow H_{2}(X) ightarrow ,mathbb {Z} {xrightarrow {alpha }} mathbb {Z} oplus mathbb {Z} ightarrow ,H_{1}(X) ightarrow 0}

Тривиальная часть влечёт обнуление гомологий в размерностях 3 и выше. Заметим, что α ( 1 ) = ( 2 , 2 ) {displaystyle alpha (1)=(2,2)} , поскольку граничная окружность листа Мёбиуса оборачивается дважды вокруг его средней линии. В частности, α ( 1 ) {displaystyle alpha (1)} инъективен. Следовательно, H 2 ( X ) = 0 {displaystyle H_{2}(X)=0} . Выбирая базис (1, 0) и (1, 1) в Z 2 {displaystyle mathbb {Z} ^{2}} , получаем

H 1 ( X ) ≅ Z ⊕ Z 2 {displaystyle {H}_{1}left(X ight)cong mathbb {Z} oplus mathbb {Z} _{2}}

Вариации и обобщения

• Редуцированные гомологии также удовлетворяют последовательности Майера — Вьеториса в предположении, что A {displaystyle A} и B {displaystyle B} имеют непустое пересечение. Эта последовательность идентична обычной, но заканчивается следующим образом: ⋯ → H ~ 0 ( A ∩ B ) → ( i ∗ , j ∗ ) H ~ 0 ( A ) ⊕ H ~ 0 ( B ) → k ∗ − l ∗ H ~ 0 ( X ) → 0. {displaystyle cdots ightarrow { ilde {H}}_{0}(Acap B),{xrightarrow {(i_{*},j_{*})}},{ ilde {H}}_{0}(A)oplus { ilde {H}}_{0}(B),{xrightarrow {k_{*}-l_{*}}},{ ilde {H}}_{0}(X) ightarrow ,0.}
• Для относительных гомологий последовательность выглядит следующим образом: ⋯ → H n ( A ∩ B , C ∩ D ) → ( i ∗ , j ∗ ) H n ( A , C ) ⊕ H n ( B , D ) → k ∗ − l ∗ H n ( X , Y ) → ∂ ∗ H n − 1 ( A ∩ B , C ∩ D ) → ⋯ {displaystyle cdots ightarrow H_{n}(Acap B,Ccap D),{xrightarrow {(i_{*},j_{*})}},H_{n}(A,C)oplus H_{n}(B,D),{xrightarrow {k_{*}-l_{*}}},H_{n}(X,Y),{xrightarrow {partial _{*}}},H_{n-1}(Acap B,Ccap D) ightarrow cdots }