Главная
Базисная функция — функция, которая является элементом базиса в функциональном пространстве.
Используются в вариационном исчислении, в анализе сигналов, и других приложениях функционального анализа.
В ранних работах в качестве предпочтительного синонима использовался термин координатная функция. Базисная функция может называться также базисным вектором, если базис определен в линейном пространстве.
Общие положения
Наборы базисных функций обладают тем свойством, что все функции из данного функционального пространства (с учётом некоторых ограничений) могут быть представлены как их линейная комбинация.
В ортогональных функциональных пространствах исходную функцию можно представить набором (вектором) коэффициентов её разложения. Такое свойство позволяет заменять трудоёмкие вычисления на более простые алгебраические операции непосредственно в функциональном пространстве.
Примеры
Любая аналитическая функция одного аргумента может быть разложена в сумму степенных функций с различными коэффициентами, то есть разложена в ряд Тейлора.
Если в качестве базисных выбраны гармонические функции, то разложение по ним есть преобразование Фурье.
В качестве ортогонального базиса часто оказывается удобным выбирать функции, широко используемые в математической физике, такие как классические ортогональные полиномы (полиномы Якоби, Лагерра и Эрмита), гипергеометрические и вырожденные гипергеометрические функции.