Главная
Формула Кардано — формула для нахождения корней канонической формы кубического уравнения
y 3 + p y + q = 0 {displaystyle y^{3}+py+q=0}над полем комплексных чисел. Названа в честь итальянского математика Джероламо Кардано, опубликовавшего её в 1545 году.
Любое кубическое уравнение общего вида
a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 {displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}при помощи замены переменной
x = y − b 3 a {displaystyle x=y-{frac {b}{3a}}}может быть приведено к указанной выше канонической форме с коэффициентами
p = c a − b 2 3 a 2 = 3 a c − b 2 3 a 2 , {displaystyle p={frac {c}{a}}-{frac {b^{2}}{3a^{2}}}={frac {3ac-b^{2}}{3a^{2}}},} q = 2 b 3 27 a 3 − b c 3 a 2 + d a = 2 b 3 − 9 a b c + 27 a 2 d 27 a 3 . {displaystyle q={frac {2b^{3}}{27a^{3}}}-{frac {bc}{3a^{2}}}+{frac {d}{a}}={frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d}{27a^{3}}}.}Формула
Определим величину:
Q = ( p 3 ) 3 + ( q 2 ) 2 . {displaystyle Q=left({frac {p}{3}} ight)^{3}+left({frac {q}{2}} ight)^{2}.}
Если все коэффициенты кубического уравнения вещественны, то и Q вещественно, и по его знаку можно определить тип корней:
- Q > 0 — один вещественный корень и два сопряжённых комплексных корня.
- Q = 0 — один однократный вещественный корень и один двукратный, или, если p = q = 0, то один трёхкратный вещественный корень.
- Q < 0 — три вещественных корня. Это так называемый «неприводимый» случай, и именно при анализе этой ситуации впервые исторически возникло понятие комплексного числа, потому что вещественный результат получается по формуле с помощью комплексных чисел.
По формуле Кардано, корни кубического уравнения в канонической форме равны:
y 1 = α + β , {displaystyle y_{1}=alpha +eta ,}
y 2 , 3 = − α + β 2 ± i α − β 2 3 , {displaystyle y_{2,3}=-{frac {alpha +eta }{2}}pm i{frac {alpha -eta }{2}}{sqrt {3}},}
где
α = − q 2 + Q 3 , {displaystyle alpha ={sqrt[{3}]{-{frac {q}{2}}+{sqrt {Q}}}},} β = − q 2 − Q 3 , {displaystyle eta ={sqrt[{3}]{-{frac {q}{2}}-{sqrt {Q}}}},}Дискриминант многочлена y 3 + p y + q {displaystyle y^{3}+py+q} при этом равен Δ = − 108 Q {displaystyle Delta =-108Q} .
Применяя данные формулы, для каждого из трёх значений α {displaystyle alpha } необходимо брать такое β {displaystyle eta } , для которого выполняется условие α β = − p / 3 {displaystyle alpha eta =-p/3} (такое значение β {displaystyle eta } всегда существует).
Если кубическое уравнение вещественное, то рекомендуется по возможности выбирать вещественные значения α , β {displaystyle alpha ,eta } .
ВыводПредставим уравнение в виде
∏ i = 1 3 ( y − y i ) = 0 ( 1 ) {displaystyle prod _{i=1}^{3}(y-y_{i})=0qquad (1)}где y i {displaystyle y_{i}} - корни уравнения. Тогда
∏ i = 1 3 ( y i ) = − q . ( 2 ) {displaystyle prod _{i=1}^{3}(y_{i})=-q.qquad (2)}Примем:
− q = α 3 + β 3 ( 3 ) {displaystyle -q=alpha ^{3}+eta ^{3}qquad (3)}Тогда, решая уравнение (3) получим
− q = ( α + β ) ( α 2 + β 2 − α β ) ( 4 ) {displaystyle -q=(alpha +eta )(alpha ^{2}+eta ^{2}-alpha eta )qquad (4)}Одним из корней будет y = α + β {displaystyle y=alpha +eta } . Подставив его в исходное уравнение, получим:
α 3 + β 3 + ( 3 α β + p ) ( α + β ) + q = 0 {displaystyle alpha ^{3}+eta ^{3}+(3alpha eta +p)(alpha +eta )+q=0}Подставляя q из (3), приходим к системе:
{ ( 3 α β + p ) ( α + β ) = 0 α 3 + β 3 = − q {displaystyle left{{egin{matrix}(3alpha eta +p)(alpha +eta )=0alpha ^{3}+eta ^{3}=-qend{matrix}} ight.} Зная, что в общем случае сумма α + β {displaystyle alpha +eta } не равна нулю, получаем систему { ( 3 α β + p ) = 0 α 3 + β 3 = − q {displaystyle left{{egin{matrix}(3alpha eta +p)=0alpha ^{3}+eta ^{3}=-qend{matrix}} ight.}которая равносильна системе
{ α 3 β 3 = − p 3 27 = m α 3 + β 3 = − q = − n {displaystyle left{{egin{matrix}alpha ^{3}eta ^{3}=-{p^{3} over 27}=malpha ^{3}+eta ^{3}=-q=-nend{matrix}} ight.}Последняя представляет собой формулы Виета для двух корней α 3 {displaystyle alpha ^{3}} и β 3 {displaystyle eta ^{3}} квадратного уравнения:
z 2 + n z + m = 0 {displaystyle z^{2}+nz+m=0}Оставшиеся два корня находятся разложением на множители многочлена
α 2 + β 2 − α β {displaystyle alpha ^{2}+eta ^{2}-alpha eta }