Сегмент круга

Сегмент круга, круговой сегмент — часть круга, ограниченная дугой окружности и её хордой или секущей.

Соотношения

Пусть R {displaystyle R} — радиус круга, c {displaystyle c} — длина хорды сегмента, s {displaystyle s} — длина дуги сегмента, h {displaystyle h} — высота сегмента, также называемая стрелкой сегмента, θ {displaystyle heta } — угол дуги сегмента выраженный в радианах. Размер сегмента круга однозначно задаётся любой парой этих величин и любая величина выражается через любую другую пару. Тогда:

R = s θ = h 1 − cos ⁡ θ 2 = d cos ⁡ θ 2 = c 2 sin ⁡ θ 2 = h + d = c 2 + 4 h 2 8 h = 1 2 4 d 2 + c 2 ; {displaystyle R={frac {s}{ heta }}={frac {h}{1-cos {frac { heta }{2}}}}={frac {d}{cos { frac { heta }{2}}}}={frac {c}{2sin { frac { heta }{2}}}}=h+d={frac {c^{2}+4h^{2}}{8h}}={frac {1}{2}}{sqrt {4d^{2}+c^{2}}};} s = θ ⋅ R = 2 R arccos ⁡ ( 1 − h R ) = 2 R arccos ⁡ d R = 2 R arcsin ⁡ c 2 R = {displaystyle s= heta cdot R=2Rarccos left(1-{ frac {h}{R}} ight)=2Rarccos { frac {d}{R}}=2Rarcsin {frac {c}{2R}}=} = θ h 1 − cos ⁡ θ 2 = θ d cos ⁡ θ 2 = θ c 2 sin ⁡ θ 2 = {displaystyle ={frac { heta }{h}}}{1-cos {frac { heta }{2}}={frac { heta d}{cos { frac { heta }{2}}}}={frac { heta c}{2sin { frac { heta }{2}}}}=} = 2 ( h + d ) arccos ⁡ d h + d = c 2 + 4 h 2 4 h arcsin ⁡ 4 h c c 2 + 4 h 2 = {displaystyle =2(h+d)arccos { frac {d}{h+d}}={frac {c^{2}+4h^{2}}{4h}}}arcsin {{ frac {4hc}{c^{2}+4h^{2}}}=} = 4 d 2 + c 2 arcsin ⁡ c 4 d 2 + c 2 ; {displaystyle ={sqrt {4d^{2}+c^{2}}}}arcsin {{frac {c}{sqrt {4d^{2}+c^{2}}}};} c = 2 R sin ⁡ θ 2 = R 2 − 2 cos ⁡ θ = 2 h ( 2 R − h ) ; {displaystyle c=2Rsin { frac { heta }{2}}=R{sqrt {2-2cos heta }}=2{sqrt {h(2R-h)}};} h = R ( 1 − cos ⁡ θ 2 ) = R − R 2 − c 2 4 ; {displaystyle h=R(1-cos { frac { heta }{2}})=R-{sqrt {R^{2}-{ frac {c^{2}}{4}}}};} θ = 2 arccos ⁡ d R = s R = 2 arccos ⁡ R − h R = 2 arcsin ⁡ c 2 R . {displaystyle heta =2arccos {frac {d}{R}}={frac {s}{R}}=2arccos {frac {R-h}{R}}=2arcsin {frac {c}{2R}}.}

Площадь кругового сегмента вычисляется по формуле:

S = 1 2 R 2 ( θ − sin ⁡ θ ) = 1 2 R 2 ( s R − sin ⁡ s R ) . {displaystyle S={frac {1}{2}}R^{2}( heta -sin heta )={frac {1}{2}}R^{2}left({frac {s}{R}}-sin { frac {s}{R}} ight).}