Абсолютный ретракт

Абсолютный ретракт — метризуемое пространство X {displaystyle X} которое является ретрактом всякого метризуемого пространства, содержащего X {displaystyle X} в качестве замкнутого подпространства.

Связанные определения

• Метризуемое пространство X {displaystyle X} называется абсолютным окрестностным ретрактом, если оно является окрестностным ретрактом всякого метризуемого пространства, содержащего X {displaystyle X} в качестве замкнутого подпространства.

Свойства

• Метризуемое пространство Y {displaystyle Y} является абсолютным ретрактом в том и только в том случае, если, каковы бы ни были метризуемое пространство X {displaystyle X} , его замкнутое подпространство A {displaystyle A} и непрерывное отображение пространства A {displaystyle A} в Y {displaystyle Y} , его можно продолжить до непрерывного отображения всего пространства X {displaystyle X} в Y {displaystyle Y} .
• Для того чтобы метризуемое пространство X {displaystyle X} было абсолютным ретрактом, необходимо, чтобы оно было ретрактом некоторого выпуклого подпространства линейного нормированного пространства, и достаточно, чтобы X {displaystyle X} было ретрактом выпуклого подпространства локально выпуклого линейного пространства.
  • Таким образом, все выпуклые подпространства локально выпуклых линейных пространств являются абсолютными ретрактами; в частности, таковы точка, отрезок, шар, прямая и т. д. Из приведенной характеристики вытекают следующие свойства абсолютных ретрактов:
    • Всякий ретракт абсолютного ретракта снова есть абсолютный ретракт
    • Каждый абсолютный ретракт стягиваем по себе и локально стягиваем.
    • Все гомологические, когомологические, гомотопические и когомотопические группы абсолютного ретракта тривиальны.