Проективная геометрия

Проективная геометрия — раздел геометрии, изучающий проективные плоскости и пространства. Главная особенность проективной геометрии состоит в принципе двойственности, который прибавляет изящную симметрию во многие конструкции.

Проективная геометрия может изучаться как с чисто геометрической точки зрения, так с аналитической (с помощью однородных координат) и с алгебраической, рассматривая проективную плоскость как структуру над полем. Часто, и исторически, вещественная проективная плоскость рассматривается как Евклидова плоскость с добавлением «прямой в бесконечности».

Тогда как свойства фигур, с которыми имеет дело Евклидова геометрия, являются метрическими (конкретные величины углов, отрезков, площадей), а эквивалентность фигур равнозначна их конгруэнтности (то есть когда фигуры могут быть переведены одна в другую посредством движения с сохранением метрических свойств), существуют более «глубоко лежащие» свойства геометрических фигур, которые сохраняются преобразованиями более общего типа, чем движение. Проективная геометрия занимается изучением свойств фигур, инвариантных при классе проективных преобразований, а также самих этих преобразований.

Проективная геометрия дополняет Евклидову, предоставляя красивые и простые решения для многих задач, осложнённых присутствием параллельных прямых. Особенно проста и изящна проективная теория конических сечений.

История

Хотя некоторые результаты, которые теперь причислены к проективной геометрии, восходят к работе таких древнегреческих геометров, как Папп Александрийский, проективная геометрия как таковая родилась в XVII веке из прямой перспективы в живописи и архитектурном черчении. Идея бесконечно далёких точек, в которых пересекаются параллельные прямые, появилась независимо у французского архитектора Жерара Дезарга и у немецкого астронома Иоганна Кеплера. Дезарг даже предложил, что может существовать прямая, состоящая исключительно из бесконечно удалённых точек.

В XIX веке интерес к этой области возродился благодаря трудам Жана-Виктора Понселе и Мишеля Шаля. Понселе вывел проективное пространство из Евклидова, добавив прямую в бесконечности, на которой пересекаются все плоскости, параллельные данной, и доказал принцип дуальности. Шаль продолжил и значительно углубил труды Понселе. Позже фон Штаудт создал чисто синтетическую аксиоматизацию, объединяющую эти прямые с остальными.

В конце XIX века Феликс Клейн предложил использовать для проективной геометрии однородные координаты, которые ранее ввели Мёбиус, Плюккер и Фейербах.

Терминология

Основные, оставленные без определения в стандартной аксиоматизации, понятия проективной геометрии — это точка и прямая. Совокупность точек на прямой называется рядом, а совокупность прямых, проходящих через точку — пучком. Совокупность точек на прямых в пучке A, пересекающихся с прямой BC, определяет плоскость ABC. Принцип двойственности гласит, что любая конструкция проективной геометрии в n-мерном пространстве остаётся верной, если во всех случаях заменить (k)-мерные конструкции на (n-k-1)-мерные. Так, любая конструкция в проективной плоскости остаётся верной, если заменить точки на прямые и прямые на точки.

Преобразование ряда прямой X в пучок точки x, не находящейся в этом ряду, или обратно, идентифицирует каждую точку в ряду с пересекающей её прямой из пучка и пишется X ⌅ x. Последовательность из нескольких таких преобразований (из ряда в пучок, потом обратно в ряд, и так далее) называется проективностью. Перспективность — это последовательность из двух проективностей (пишется X ⌆ X′). Перспективность двух прямых проходит сквозь центр O, а перспективность двух точек — сквозь ось o. Точка инвариантна по отношению к проективности, если проективность преобразует её в ту же точку.

Треугольник — это три точки, соединённые попарно прямыми. Полный четырёхугольник — это четыре точки (вершины) в одной плоскости, из которых никакие три не коллинеарны, соединённые попарно прямыми. Пересечение двух из этих прямых, не являющееся вершиной, называется диагональной точкой. Полный четырёхгранник определяется аналогично, но с точками вместо прямых и прямыми вместо точек. Аналогично можно определить полный n-угольник и полный n-гранник.

Два треугольника перспективны, если они могут быть соединены с помощью перспективности, то есть их грани пересекаются на коллинеарных точках (перспективность сквозь прямую) или их вершины соединены конкурентными прямыми (перспективность сквозь точку).

Основные подходы

Есть три главных подхода к проективной геометрии: независимая аксиоматизация, дополнение Евклидовой геометрии, и структура над полем.

Аксиоматизация

Проективное пространство можно определить с помощью разного набора аксиом. Коксетер предоставляет следующие:

Существует прямая и точка не на ней.

На каждой прямой есть по крайней мере три точки.

Через две точки можно провести ровно одну прямую.

Если A {displaystyle A} , B {displaystyle B} , C {displaystyle C} , и D {displaystyle D} — различные точки и A B {displaystyle AB} и C D {displaystyle CD} пересекаются, то A C {displaystyle AC} и B D {displaystyle BD} пересекаются.

Если A B C {displaystyle ABC} — плоскость, то существует по крайней мере одна точка не в плоскости A B C {displaystyle ABC} .

Две различные плоскости пересекаются по крайней мере в двух точках.

Три диагональные точки полного четырёхугольника не коллинеарны.

Если три точки на прямой X {displaystyle X} инвариантны по отношению к проективности φ {displaystyle varphi } , то все точки на X {displaystyle X} инвариантны по отношению к φ {displaystyle varphi } .

Проективная плоскость (без третьего измерения) определяется несколько другими аксиомами:

Через две точки можно провести ровно одну прямую.

Любые две прямые пересекаются.

Существует четыре точки, из которых нет трёх коллинеарных.

Три диагональные точки полных четырёхугольников не коллинеарны.

Теорема Дезарга: Если два треугольника перспективны сквозь точку, то они перспективны сквозь прямую.

При наличии третьего измерения, теорема Дезарга может быть доказана без введения идеальных точки и прямой.

Дополнение Евклидовой геометрии

Исторически, проективное пространство было впервые определено, как дополнение евклидова пространства идеальным элементом — бесконечно удалённой плоскостью. Каждая точка на этой плоскости соответствует направлению в пространстве и является местом пересечения всех прямых этого направления.

Структура над полем

n {displaystyle n} -мерное проективное пространство над полем F {displaystyle F} определяется с помощью системы однородных координат над F {displaystyle F} , то есть множества ненулевых ( n + 1 ) {displaystyle (n+1)} -векторов из элементов F {displaystyle F} . Точка и прямая определяются как множество векторов, отличающихся умножением на константу. Точка x {displaystyle x} находится на прямой X {displaystyle X} , если скалярное произведение X ⋅ x = 0 {displaystyle Xcdot x=0} . Таким образом, имея прямую X {displaystyle X} , мы можем определить линейное уравнение X ⋅ x = 0 {displaystyle Xcdot x=0} , определяющее ряд точек на X {displaystyle X} . Из этого следует, что точки x {displaystyle x} , y {displaystyle y} , и z {displaystyle z} коллинеарны, если X ⋅ x = X ⋅ y = X ⋅ z = 0 {displaystyle Xcdot x=Xcdot y=Xcdot z=0} для какой-нибудь прямой X {displaystyle X} .

Важные теоремы

Теорема Дезарга
Теорема Брианшона
Теорема Паппа
Теорема Паскаля