Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер




21.01.2022


21.01.2022


20.01.2022


19.01.2022


19.01.2022





Яндекс.Метрика





Разложение простых идеалов в расширениях Галуа

13.11.2021

Под разложением простых идеалов в расширениях Галуа понимается разложение простых идеалов P {displaystyle P} кольца целых O K {displaystyle O_{K}} поля алгебраических чисел K {displaystyle K} в кольце целых O L {displaystyle O_{L}} расширении Галуа L / K {displaystyle L/K} с группой Галуа G {displaystyle G} . Изучение этого разложения является одной из самых богатых частей алгебраической теории чисел. Эта теория иногда приписывается Гильберту под названием теория Гильберта.

Определения

Пусть L / K {displaystyle L/K} — конечное расширение числового поля, а O K {displaystyle O_{K}} и O L {displaystyle O_{L}} — кольца целых чисел K {displaystyle K} и L {displaystyle L} соответственно.

O K ↪ O L ↓ ↓ K ↪ L {displaystyle {egin{array}{ccc}O_{K}&hookrightarrow &O_{L}downarrow &&downarrow K&hookrightarrow &Lend{array}}}

Наконец, пусть P {displaystyle P} является ненулевым простым идеалом в O K {displaystyle O_{K}} или, что эквивалентно, максимальным идеалом, так что факторкольцо O K / P {displaystyle O_{K}/P} — поле.

Из основ теории одномерного кольца следует существование единственного разложения идеала P {displaystyle P} :

P = ∏ j = 1 g P j e j , {displaystyle P=prod limits _{j=1}^{g}P_{j}^{e_{j}},}

где P j {displaystyle P_{j}} — различные максимальные идеалы, а e j ⩾ 1 {displaystyle e_{j}geqslant 1} — их кратность.

Поле F = O K / P {displaystyle F=O_{K}/P} естественно вкладывается в F j = O L / P j {displaystyle F_{j}=O_{L}/P_{j}} для каждого j {displaystyle j} , степень f j = [ O L / P j : O K / P ] {displaystyle f_{j}=[O_{L}/P_{j}:O_{K}/P]} этого расширения поля вычетов называется степенью инерции P j {displaystyle P_{j}} над P {displaystyle P} .

Показатель e j {displaystyle e_{j}} называется индексом ветвления P j {displaystyle P_{j}} над P {displaystyle P} . Если e j > 1 {displaystyle e_{j}>1} для некоторого j {displaystyle j} , то расширение L / K {displaystyle L/K} называется разветвленным в P {displaystyle P} (или мы говорим, что P {displaystyle P} разветвляется в L {displaystyle L} ). В противном случае L / K {displaystyle L/K} называется неразветвленным в P {displaystyle P} . Если это так, то по китайской теореме об остатках фактор O L / P {displaystyle O_{L}/P} является произведением полей F j {displaystyle F_{j}} . P {displaystyle P} разветвлён тогда и только тогда, когда он делит относительный дискриминант, значит неразветвлено лишь конечное число простых идеалов.

Из мультипликативности нормы идеала вытекает

[ L : K ] = ∑ j = 1 g e j f j . {displaystyle [L:K]=sum limits _{j=1}^{g}e_{j}f_{j}.}

Если f j = e j {displaystyle f_{j}=e_{j}} для всех j {displaystyle j} (и, следовательно, g = [ L : K ] {displaystyle g=[L:K]} ), то говорим, что P {displaystyle P} полностью разлагается в L {displaystyle L} . Если g = 1 {displaystyle g=1} и f 1 = 1 {displaystyle f_{1}=1} (и поэтому e 1 = [ L : K ] {displaystyle e_{1}=[L:K]} ), мы говорим, что P {displaystyle P} полностью разветвляется в L {displaystyle L} . Наконец, если g = 1 {displaystyle g=1} и e 1 = 1 {displaystyle e_{1}=1} (и поэтому f 1 = [ L : K ] {displaystyle f_{1}=[L:K]} ), мы говорим, что P {displaystyle P} инертен в L {displaystyle L} .

Разложение в расширениях Галуа

Пусть L / K {displaystyle L/K} является расширением Галуа. Тогда группа Галуа G = Gal ⁡ ( L / K ) {displaystyle G=operatorname {Gal} (L/K)} действует транзитивно на P j {displaystyle P_{j}} . То есть простые идеальные множители в разложении P {displaystyle P} в L {displaystyle L} образуют единую орбиту при действии автоморфизма L {displaystyle L} над K {displaystyle K} . Из этого и теореме о единственности факторизации следует, что f = f j {displaystyle f=f_{j}} и e = e j {displaystyle e=e_{j}} не зависят от j {displaystyle j} . Тогда полученные соотношения принимают вид

P = ( ∏ j = 1 g P j ) e {displaystyle P=left(prod limits _{j=1}^{g}P_{j} ight)^{e}} .

и

[ L : K ] = e f g . {displaystyle [L:K]=efg.}

Отсюда следует, что [ L : K ] / e f = g {displaystyle [L:K]/ef=g} — числу простых коэффициентов P {displaystyle P} в O L {displaystyle O_{L}} . По формуле числа элементов в орбите g = | G | / | D P j | {displaystyle g=|G|/|D_{P_{j}}|} для всех j {displaystyle j} , где D P j = { σ ∈ G : σ ( P j ) = P j } {displaystyle D_{P_{j}}={sigma in G:sigma (P_{j})=P_{j}}} — стабилизатор P j {displaystyle P_{j}} , называемый группой разложения идеала P j {displaystyle P_{j}} . Так как [ L : K ] = | G | {displaystyle [L:K]=|G|} по базовой теории Галуа, то порядок группы разложения | D P j | = e f {displaystyle |D_{P_{j}}|=ef} для всех j {displaystyle j} .

Группа разложения содержит нормальную подгруппу I P j {displaystyle I_{P_{j}}} , называемую группой инерции P j {displaystyle P_{j}} , состоящую из автоморфизмов L / K {displaystyle L/K} , которые индуцируют тождественный автоморфизм на F j = O L / P j {displaystyle F_{j}=O_{L}/P_{j}} . Другими словами, I P j {displaystyle I_{P_{j}}} является ядром редукционного отображения D P j → Gal ⁡ ( F j / F ) {displaystyle D_{P_{j}} o operatorname {Gal} (F_{j}/F)} . Можно показать, что это отображение является сюръективным, и из этого следует, что Gal ⁡ ( F j / F ) ≅ D P j / I P j {displaystyle operatorname {Gal} (F_{j}/F)cong D_{P_{j}}/I_{P_{j}}} и | I P j | = e {displaystyle |I_{P_{j}}|=e} .

Теория элемента Фробениуса идет дальше, чтобы идентифицировать элемент D P j / I P j {displaystyle D_{P_{j}}/I_{P_{j}}} для данного j {displaystyle j} , что соответствует автоморфизму Фробениуса в группе Галуа конечного расширения поля F j / F {displaystyle F_{j}/F} . В неразветвленном случае порядок | D P j | = f {displaystyle |D_{P_{j}}|=f} и I P j {displaystyle I_{P_{j}}} тривиально. Кроме того, элемент Фробениуса в этом случае является элементом D P j {displaystyle D_{P_{j}}} (и, следовательно, также элемент из G {displaystyle G} ).

Разложение простых идеалов в полях, которые не являются расширениями Галуа, можно изучать с помощью поля разложения, то есть с помощью расширения Галуа, которое содержит исходное поле, но несколько больше, чем оно. Например, кубическое поле обычно вкладывается в расширение Галуа степени 6.

Пример — целые гауссовы числа

В этом разделе описывается расщепление простых идеалов в расширении поля Q ( i ) / Q {displaystyle mathbb {Q} (i)/mathbb {Q} } . То есть мы берем K = Q {displaystyle K=mathbb {Q} } и L = Q ( i ) {displaystyle L=mathbb {Q} (i)} , поэтому O K = Z {displaystyle O_{K}=mathbb {Z} } и O L = Z [ i ] {displaystyle O_{L}=mathbb {Z} [i]} — кольцо гауссовых целых чисел. Хотя этот случай далек от репрезентативного, поскольку Z [ i ] {displaystyle mathbb {Z} [i]} — Факториальное кольцо и конечное небольшое число квадратичных полей с единственным разложением на множители — он показывает многие из особенностей теории.

Обозначим G {displaystyle G} — группа Галуа Q ( i ) / Q {displaystyle mathbb {Q} (i)/mathbb {Q} } , G = { 1 , σ } {displaystyle G={1,sigma }} , где σ {displaystyle sigma } — комплексно-сопряженный автоморфизм. Рассмотрим три случая.

Простое p = 2

Простое 2 в Z {displaystyle mathbb {Z} } разветвляется Z [ i ] {displaystyle mathbb {Z} [i]} :

( 2 ) = ( ( 1 + i ) 2 ) {displaystyle (2)=((1+i)^{2})}

Индекс ветвления e = 2 {displaystyle e=2} . Поле вычетов здесь равно

O L / ( 1 + i ) O L ≅ F 2 {displaystyle O_{L}/(1+i)O_{L}cong mathbb {F} _{2}}

— конечное поле из 2-х элементов. Группа разложения D ( 1 + i ) = G {displaystyle D_{(1+i)}=G} , так как существует только одно из чисел Z [ i ] {displaystyle mathbb {Z} [i]} выше 2. Группа инерции I 1 + i = G {displaystyle I_{1+i}=G} , так как

a + b i ≡ a − b i mod 1 + i {displaystyle a+biequiv a-bi{mod {1+i}}}

для всех целых a , b {displaystyle a,b}

На самом деле, 2 — это единственное простое, которое разветвляется в Z [ i ] {displaystyle mathbb {Z} [i]} , так как каждое разветвляющееся простое должно делить дискриминант Z [ i ] {displaystyle mathbb {Z} [i]} , который равен − 4 {displaystyle -4} .

Простые p ≡ 1 mod 4

Любое простое p ≡ 1 ( mod 4 ) {displaystyle pequiv 1{pmod {4}}} разлагается в произведение двух различных простых идеалов в Z [ i ] {displaystyle mathbb {Z} [i]} ; это фактически теорема Ферма о сумме двух квадратов. Например:

13 = ( 2 + 3 i ) ( 2 − 3 i ) = 2 2 + 3 2 {displaystyle 13=(2+3i)(2-3i)=2^{2}+3^{2}}

Обе группы разложения в этом случае тривиальны: G 2 ± 3 i { 1 } {displaystyle G_{2pm 3i}{1}} , поскольку автоморфизм σ {displaystyle sigma } переставляет ( 2 + 3 i ) {displaystyle (2+3i)} и ( 2 − 3 i ) {displaystyle (2-3i)} , поэтому σ ∉ G 2 ± 3 i {displaystyle sigma ot in G_{2pm 3i}} . Группа инерции, также является тривиальной группой как подгруппа группы разложения. Существует два поля вычетов: по одному для каждого простого:

O L / ( 2 ± 3 i ) O L {displaystyle O_{L}/(2pm 3i)O_{L},}

которые изоморфны F 13 {displaystyle mathbb {F} _{13}} . Элемент Фробениуса будет тривиальным автоморфизмом, это означает, что

( a + b i ) 13 ≡ a + b i ( mod 2 ± 3 i ) {displaystyle (a+bi)^{13}equiv a+bi{pmod {2pm 3i}}}

для всех a , b ∈ Z {displaystyle a,bin mathbb {Z} }

Простые p ≡ 3 mod 4

Любое простое p : p ≡ 3 ( mod 4 ) {displaystyle p:pequiv 3{pmod {4}}} , например 7 {displaystyle 7} , остается простым, инертным, в Z [ i ] {displaystyle mathbb {Z} [i]} , то есть не разлагается. В этой ситуации группа разложения G 7 = G {displaystyle G_{7}=G} , потому что σ ( 7 ) = 7 {displaystyle sigma (7)=7} . Однако эта ситуация отличается от случая p = 2 {displaystyle p=2} , потому что теперь σ {displaystyle sigma } не действует тривиально на поле вычетов O L / ( 7 ) O L ≅ F 7 2 {displaystyle O_{L}/(7)O_{L}cong mathbb {F} _{7^{2}}} . Например, 1 + i ≢ 1 − i ( mod 7 ) {displaystyle 1+i ot equiv 1-i{pmod {7}}} . Следовательно, группа инерции тривиальна: I 7 = { 1 } {displaystyle I_{7}={1}} . Группа Галуа O L / ( 7 ) O L {displaystyle O_{L}/(7)O_{L}} над подполем Z / 7 Z {displaystyle mathbb {Z} /7mathbb {Z} } имеет порядок 2 и порождается образом элемента Фробениуса. Фробениус — это не что иное, как σ {displaystyle sigma } это значит, что

( a + b i ) 7 ≡ a − b i mod 7 {displaystyle (a+bi)^{7}equiv a-bi{mod {7}}}

для всех a , b ∈ Z {displaystyle a,bin mathbb {Z} }

Сводка

Вычисление факторизации идеала

Предположим, что мы хотим разложить простой идеал P {displaystyle P} кольца O K {displaystyle O_{K}} в простые идеалы кольца O L {displaystyle O_{L}} . Следующая процедура (Neukirch, стр. 47) решает эту проблему во многих случаях. Стратегия состоит в том, чтобы выбрать целое число θ ∈ O L {displaystyle heta in O_{L}} , такое что L = K ( θ ) {displaystyle L=K( heta )} (такое θ {displaystyle heta } существует по теореме о примитивном элементе), а затем изучить минимальный многочлен H ( X ) {displaystyle H(X)} элемента θ {displaystyle heta } над K {displaystyle K} . Редуцируя коэффициенты H ( X ) {displaystyle H(X)} по модулю P {displaystyle P} , получим многочлен h ( X ) {displaystyle h(X)} с коэффициентами из конечного поля F = O K / P {displaystyle F=O_{K}/P} . Предположим, что h ( X ) {displaystyle h(X)} факторизуется в полиномиальном кольце F [ X ] {displaystyle F[X]} как

h ( X ) = h 1 ( X ) e 1 ⋯ h n ( X ) e n , {displaystyle h(X)=h_{1}(X)^{e_{1}}cdots h_{n}(X)^{e_{n}},}

где h j {displaystyle h_{j}} — различные неприводимые многочлены в F [ X ] {displaystyle F[X]} . Тогда, если P {displaystyle P} не является одним из конечного числа исключительных простых чисел (точное условие описано ниже), разложение P {displaystyle P} имеет следующий вид:

P O L = Q 1 e 1 ⋯ Q n e n , {displaystyle PO_{L}=Q_{1}^{e_{1}}cdots Q_{n}^{e_{n}},}

где Q j {displaystyle Q_{j}} — различные простые идеалы O L {displaystyle O_{L}} . Кроме того, степень инерции каждого Q j {displaystyle Q_{j}} равна степени соответствующего многочлена h j {displaystyle h_{j}} , и существует явная формула для Q j {displaystyle Q_{j}} :

Q j = P O L + h j ( θ ) O L , {displaystyle Q_{j}=PO_{L}+h_{j}( heta )O_{L},}

где h j {displaystyle h_{j}} обозначает здесь подъем многочлена h j {displaystyle h_{j}} в K [ X ] {displaystyle K[X]} .

В случае расширения Галуа степени инерции равны, а индексы ветвления e 1 = . . . = e n {displaystyle e_{1}=...=e_{n}} .

Исключительные простые числа, для которых приведенный выше результат не всегда имеет место, являются теми, которые не являются взаимно простыми по отношению к кондуктору кольца O K [ θ ] {displaystyle O_{K}[ heta ]} . Кондуктор определяется как идеал

{ y ∈ O L : y O L ⊆ O K [ θ ] } ; {displaystyle {yin O_{L}:yO_{L}subseteq O_{K}[ heta ]};}

он измеряет, насколько порядок O K [ θ ] {displaystyle O_{K}[ heta ]} является полным кольцом целых чисел (максимальный порядок) O L {displaystyle O_{L}} .

Существенным препятствием является то, что существуют такие L / K {displaystyle L/K} и P {displaystyle P} , для которых нет θ {displaystyle heta } , удовлетворяющего вышеприведенным гипотезам (см., например,). Поэтому приведенный выше алгоритм нельзя использовать для определения такого P {displaystyle P} , и необходимо использовать более сложные подходы, такие как описанные в.

Пример расчёта

Рассмотрим снова случай гауссовых целых чисел. Мы возьмем θ = i {displaystyle heta =i} — мнимую единицу H ( X ) = X 2 + 1 {displaystyle H(X)=X^{2}+1} . Так как Z [ i ] {displaystyle mathbb {Z} [i]} — кольцо целых чисел Q ( i ) {displaystyle mathbb {Q} (i)} , кондуктор является единичным идеалом, поэтому нет исключительных простых чисел.

Для P = ( 2 ) {displaystyle P=(2)} нам нужно работать в поле Z / 2 Z {displaystyle mathbb {Z} /2mathbb {Z} } , что сводится к разложению многочлена X 2 + 1 {displaystyle X^{2}+1} по модулю 2:

X 2 + 1 = ( X + 1 ) 2 ( mod 2 ) . {displaystyle X^{2}+1=(X+1)^{2}{pmod {2}}.}

Поэтому существует только один простой множитель с степенью инерции 1 и индексом ветвления 2, и он задается формулой

Q = ( 2 ) Z [ i ] + ( i + 1 ) Z [ i ] = ( 1 + i ) Z [ i ] . {displaystyle Q=(2)mathbb {Z} [i]+(i+1)mathbb {Z} [i]=(1+i)mathbb {Z} [i].}

Следующий случай для P = ( p ) {displaystyle P=(p)} для простого p ≡ 3 ( mod 4 ) {displaystyle pequiv 3{pmod {4}}} . Например, возьмем P = ( 7 ) {displaystyle P=(7)} . Многочлен X 2 + 1 {displaystyle X^{2}+1} неприводим по модулю 7. Поэтому существует только один простой множитель с степенью инерции 2 и индексом ветвления 1 и он задается формулой

Q = ( 7 ) Z [ i ] + ( i 2 + 1 ) Z [ i ] = 7 Z [ i ] . {displaystyle Q=(7)mathbb {Z} [i]+(i^{2}+1)mathbb {Z} [i]=7mathbb {Z} [i].}

Последний случай — P = ( p ) {displaystyle P=(p)} для простого p ≡ 1 ( mod 4 ) {displaystyle pequiv 1{pmod {4}}} ; мы снова возьмем P = ( 13 ) {displaystyle P=(13)} . На этот раз мы имеем разложение

X 2 + 1 = ( X + 5 ) ( X − 5 ) ( mod 13 ) . {displaystyle X^{2}+1=(X+5)(X-5){pmod {13}}.}

Поэтому существуют два основных множителя, как с степенью инерции, так и с индексом ветвления равным 1. Они даются выражением

Q 1 = ( 13 ) Z [ i ] + ( i + 5 ) Z [ i ] = ⋯ = ( 2 + 3 i ) Z [ i ] {displaystyle Q_{1}=(13)mathbb {Z} [i]+(i+5)mathbb {Z} [i]=cdots =(2+3i)mathbb {Z} [i]}

and

Q 2 = ( 13 ) Z [ i ] + ( i − 5 ) Z [ i ] = ⋯ = ( 2 − 3 i ) Z [ i ] . {displaystyle Q_{2}=(13)mathbb {Z} [i]+(i-5)mathbb {Z} [i]=cdots =(2-3i)mathbb {Z} [i].}

Геометрическая аналогия