Правила Фейнмана

Правила Фейнмана в квантовой теории поля — правила соответствия между вкладами определенного порядка теории возмущений в матричные элементы матрицы рассеяния и диаграмм Фейнмана. Регулярный вывод правил Фейнмана основан на применении теоремы Вика для хронологических произведений к хронологическим произведениям полевых операторов, через интегралы от которых выражаются вклады в матрицу рассеяния. В правилах Фейнмана центральную роль играют пропагаторы квантовых полей, равные их хронологическим спариваниям, то есть вакуумным ожиданиям от парных хронологических произведений:

u a ( x ) u b ( y ) = ⟨ T u a ( x ) u b ( y ) ⟩ 0 . {displaystyle u_{a}(x)u_{b}(y)=langle Tu_{a}(x)u_{b}(y) angle _{0}.}

которые также равны причинным функциям Грина этих полей:

u a ( x ) u b ( y ) = i δ a , b Δ a c ( x − y ) . {displaystyle u_{a}(x)u_{b}(y)=idelta _{a,b}Delta _{a}^{c}(x-y).}

Наряду с пропагаторами i Δ ( x − y ) {displaystyle iDelta (x-y)} , которым в диаграммах Фейнмана соответствуют линии, соединяющие точки х и у, и которые полностью характеризуют взаимодействующие поля, правила Фейнмана включают элементы, описывающие механизм взаимодействия и отражающие структуру лагранжиана взаимодействия рассматриваемой квантовополевой модели.

Существуют две разновидности правил Фейнмана

правила в координатном представлении, на основе которых можно сопоставить диаграммы вкладам в S-матрицу, выраженным через операторные полевые функции

более полезными оказываются правила Фейнмана в импульсном представлении, которые служат непосредственно для построения матричных элементов переходов между физ. состояниями, характеризуемыми наряду с прочими квантовыми числами значениями 4-импульсов частиц.

В дальнейшем термином «правила Фейнмана» будем называть именно правила Фейнмана в импульсном представлении.

В этом представлении вместо вышеприведенных выражений используют их фурье-образы Δ a ( p ) {displaystyle Delta _{a}(p)} , которым на диаграмме Фейнмана соответствуют внутренние линии, по которым как бы движутся частицы с импульсом р. Места встречи линий — вершины — описывают взаимодействия частиц. Поэтому, согласно правилам Фейнмана, вершинам отвечают множители в матричных элементах, передающие структуру лагранжианов взаимодействия. В качестве иллюстрации в таблице приведены правила соответствия для квантовой электродинамики в диагональной (иначе фейнмановской) калибровке электромагнитного поля.

Выражение, стоящее в первой строке таблицы правил соответствия, отвечает структуре лагранжиана взаимодействия L ( x ) = e ψ ( x ) γ μ ψ ( x ) A μ ( x ) {displaystyle {mathcal {L}}(x)=epsi (x)gamma ^{mu }psi (x)A_{mu }(x)} , за исключением множителя i {displaystyle i} , который учитывает тот факт, что вклад n-го порядка в S-матрицу содержит множитель i n {displaystyle i^{n}} :

S n ≈ i n n ! ∫ T ( L ( x 1 ) . . . L ( x n ) ) d x 1 . . . d x n . {displaystyle S_{n}approx {frac {i^{n}}{n!}}int {Tleft({mathcal {L}}(x_{1})...{mathcal {L}}(x_{n}) ight)}dx_{1}...dx_{n}.}

Две следующие строчки содержат пропагаторы полей, а затем в правилах соответствия фигурируют вектор поляризации фотона e α ( k ) {displaystyle e^{alpha }(k)} и неквантованные дираковские спиноры v → ( ρ ) , v ( p ) {displaystyle {vec {v}}( ho ),v(p)} , являющиеся решениями свободного уравнения Дирака и отвечающие электронам (и/или позитронам) в начальном и конечном состояниях.

Пример применения

Пользуясь приведёнными правилами Фейнмана, получим матричный элемент процесса е−+е− → е−+е− (то есть мёллеровского рассеяния электронов) в низшем, втором по e, порядке теории возмущений. Единственной диаграммой оказывается диаграмма, приведённая на рис. 6. Используя введённые на этом рисунке импульсные обозначения, положим, что импульсы электронов в начальном состоянии равны p1 и р2, а электроны конечного состояния обладают импульсами — q1 , q2 (при этом, разумеется, q10 < 0, q20 < 0). Используя правила (1), (2), (5), (6) и (8), находим:

M ( p 1 , p 2 , − q 1 , − q 2 ) = e 2 i ( 2 π ) 2 δ ( p 1 + p 2 + q 1 + q 2 ) g μ , ν ( p 1 + q 1 ) 2 v σ → ( − q 1 ) γ μ v ρ ( p 1 ) {displaystyle M(p_{1},p_{2},-q_{1},-q_{2})={frac {e^{2}}{i(2pi )^{2}}}delta (p_{1}+p_{2}+q_{1}+q_{2}){frac {g_{mu , u }}{(p_{1}+q_{1})^{2}}}{vec {v_{sigma }}}(-q_{1})gamma ^{mu }v_{ ho }(p_{1})} v κ → ( − q 2 ) γ ν v λ ( p 2 ) . {displaystyle {vec {v_{kappa }}}(-q_{2})gamma ^{ u }v_{lambda }(p_{2}).}

Согласно правилу (11), это выражение следует ещё антисимметризовать по электронам начального и конечного состояний.

Из релятивистской квантовой теории поля метод диаграмм Фейнмана и правила Фейнмана непосредственно переносится в квантовую статистику при нулевой температуре и без труда формулируется для теории возмущений при конечной температуре.