Контактная структура

Контактная структура — структура на гладком многообразии нечётной размерности M 2 n + 1 {displaystyle M^{2n+1}} , состоящая из гладкого поля касательных гиперплоскостей, удовлетворяющих формулируемому ниже условию невырожденности. Такая структура всегда существует на многообразии контактных элементов многообразия. Контактная структура тесно связана с симплектической и является её аналогом для нечётномерных многообразий.

Определение

Контактная структура на многообразии определяется заданием такой 1-формы λ {displaystyle lambda } , что

λ ∧ ( d λ ) n ≠ 0 {displaystyle lambda wedge (dlambda )^{n} eq 0}

λ {displaystyle lambda } называется контактной формой. Контактная структура существует только на ориентируемом многообразии и определяет единственное векторное поле Y {displaystyle Y} на M 2 n + 1 {displaystyle M^{2n+1}} такое, что

λ ( Y ) = 1 {displaystyle lambda (Y)=1} d λ ( Y , X ) = 0 {displaystyle dlambda (Y,X)=0}

для любого векторного поля X {displaystyle X} .

Свойства

• Размерность контактного многообразия всегда нечётна.
• На любом подмногообразии уровня гамильтониана, заданного на фазовом пространстве, возникает естественная контактная структура.

Симплектизация и контактизация

С каждым симплектическим 2n-мерным многообразием каноническим образом связано (2n+1)-мерное контактное многообразие, называемое его контактизацией. Обратно, для любого (2n+1)-мерного контактного многообразия существует его симплектизация, являющаяся (2n+2)-мерным многообразием.

Почти контактная структура

Пусть M 2 n + 1 {displaystyle M^{2n+1}} — нечётномерное гладкое многообразие dim ⁡ M = 2 n + 1 {displaystyle dim M=2n+1} .

Почти контактной структурой на многообразии M {displaystyle M} называется тройка ( η , ξ , Φ ) {displaystyle (eta ,xi ,Phi )} тензорных полей на этом многообразии, где η {displaystyle eta } — дифференциальная 1-форма, называемая контактной формой структуры, ξ {displaystyle xi } — векторное поле, называемое характеристическим, Φ {displaystyle Phi } — эндоморфизм T M {displaystyle TM} , называемый структурным эндоморфизмом. При этом

η ( ξ ) = 1 {displaystyle eta (xi )=1}

η ∘ Φ = 0 {displaystyle eta circ Phi =0}

Φ ( ξ ) = 0 {displaystyle Phi (xi )=0}

Φ 2 = − i d + η ⊗ ξ {displaystyle Phi ^{2}=-id+eta otimes xi }

Если, кроме того, на M {displaystyle M} фиксирована риманова структура g = ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ {displaystyle g=langle cdot ,cdot angle } , такая что

⟨ Φ X , Φ Y ⟩ = ⟨ X , Y ⟩ − η ( X ) η ( Y ) {displaystyle langle Phi X,Phi Y angle =langle X,Y angle -eta (X)eta (Y)}

четвёрка ( η , ξ , Φ , g ) {displaystyle (eta ,xi ,Phi ,g)} называется почти контактной метрической (или короче АС-) структурой. Многообразие, на котором задана (почти) контактная [метрическая] структура, называется, соответственно, (почти) контактным [метрическим] многообразием.