Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер




04.08.2021


03.08.2021


03.08.2021


03.08.2021


03.08.2021





Яндекс.Метрика





Критерий согласия Ватсона

17.06.2021

Непараметрический критерий согласия Ватсона является развитием критерия согласия Крамера — Мизеса — Смирнова. Критерий был предложен для проверки простых гипотез о принадлежности анализируемой выборки полностью известному закону, то есть для проверки гипотез вида H 0 : F n ( x ) = F ( x , θ ) {displaystyle H_{0}:F_{n}(x)=F(x, heta )} с известным вектором параметров теоретического закона.

В критерии Ватсона используется статистика вида:

U n 2 = ∑ i = 1 n ( F ( x i , θ ) − i − 0 , 5 n ) 2 − n ( 1 n ∑ i = 1 n F ( x i , θ ) − 0 , 5 ) 2 + 1 12 n {displaystyle U_{n}^{2}=sum _{i=1}^{n}left(F(x_{i}, heta )-{frac {i-0,5}{n}} ight)^{2}-nleft({frac {1}{n}}sum _{i=1}^{n}F(x_{i}, heta )-0,5 ight)^{2}+{frac {1}{12n}}} ,

где n {displaystyle n} — объём выборки, x 1 , x 2 , . . . , x n {displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}} — упорядоченные по возрастанию элементы выборки.

При справедливости простой проверяемой гипотезы статистика U n 2 {displaystyle U_{n}^{2}} в пределе подчиняется распределению:

G ( u ) = 1 − 2 ∑ m = 1 ∞ ( − 1 ) m − 1 e − 2 m 2 π 2 u {displaystyle G(u)=1-2sum _{m=1}^{infty }(-1)^{m-1}e^{-2m^{2}pi ^{2}u}} .

Чтобы уменьшить зависимость распределения статистики от объёма выборки, можно использовать в критерии модификацию статистики вида

U n 2 ∗ = ( U n 2 − 0 , 1 / n + 0 , 1 / n 2 ) ( 1 + 0 , 8 / n ) {displaystyle U_{n}^{2*}=left(U_{n}^{2}-0,1/n+0,1/n^{2} ight)(1+0,8/n)} .

Однако следует подчеркнуть, что зависимость распределения статистики U n 2 {displaystyle U_{n}^{2}} от объема выборки выражена слабо. При n > 20 {displaystyle n>20} отличием распределения статистики U n 2 {displaystyle U_{n}^{2}} от предельного распределения можно пренебречь. При проверке простых гипотез критерий Ватсона по мощности несколько выигрывает у критерия Крамера-Мизеса-Смирнова

При проверке простых гипотез критерий является свободным от распределения, то есть не зависит от вида закона, с которым проверяется согласие.

Проверяемая гипотеза отклоняется при больших значениях статистики.

Проверка сложных гипотез

При проверке сложных гипотез вида H 0 : F n ( x ) ∈ { F ( x , θ ) , θ ∈ Θ } {displaystyle H_{0}:F_{n}(x)in left{F(x, heta ), heta in Theta ight}} , где оценка θ ^ {displaystyle {hat { heta }}} скалярного или векторного параметра распределения F ( x , θ ) {displaystyle F(x, heta )} вычисляется по той же самой выборке, критерий согласия Ватсона (как и все непараметрические критерии согласия) теряет свойство свободы от распределения.

При проверке сложных гипотез распределения статистик непараметрических критериев согласия зависят от ряда факторов: от вида наблюдаемого закона F ( x , θ ) {displaystyle F(x, heta )} , соответствующего справедливой проверяемой гипотезе H 0 {displaystyle H_{0}} ; от типа оцениваемого параметра и числа оцениваемых параметров; в некоторых случаях от конкретного значения параметра (например, в случае семейств гамма- и бета-распределений); от метода оценивания параметров. Различия в предельных распределениях статистики при проверке простых и сложных гипотез очень существенны, поэтому пренебрегать этим ни в коем случае нельзя.