Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер




22.09.2021


21.09.2021


21.09.2021


19.09.2021


19.09.2021





Яндекс.Метрика





Факторизация

17.06.2021

В математике факторизация — это декомпозиция объекта (например, числа, полинома или матрицы) в произведение других объектов, или факторов, которые, будучи перемноженными, дают исходный объект. Например, число 15 факторизуется на простые числа 3 и 5, а полином x2 − 4 факторизуется на (x − 2)(x + 2). В результате факторизации во всех случаях получается произведение более простых объектов, чем исходный.

Целью факторизации является приведение объекта к «основным строительным блокам», например, число к простым числам, многочлен — к неприводимым многочленам. Факторизация целых чисел обеспечивается основной теоремой арифметики, а многочленов — основной теоремой алгебры.

Противоположностью факторизации полиномов является их расширение, перемножение полиномиальных факторов для получения «расширенного» многочлена, записанного в виде суммы слагаемых.

Факторизация целых чисел для больших чисел является задачей большой сложности. Не существует никакого известного способа, чтобы решить эту задачу быстро. Её сложность лежит в основе некоторых алгоритмов шифрования с открытым ключом, таких как RSA.

Матрица может также быть факторизована на произведение матриц специального вида для приложений, в которых эта форма удобна. Одним из основных примеров этого является использование ортогональных, унитарных и треугольных матриц. Существуют различные способы факторизации: QR-разложение, LQ, QL, RQ, RZ.

Ещё одним примером является факторизация функций в виде композиции других функций, имеющих определённые свойства. Например, каждая функция может рассматриваться как композиция сюръективной функции с инъективной. Этот подход является обобщением понятия факторизации систем.

Наконец, в теории графов факторизация графа определяется как разложение графа на непересекающиеся по рёбрам остовные подграфы (то есть подграфы, содержащие все вершины графа) специального вида.

Целые числа

По основной теореме арифметики каждое натуральное число имеет единственное разложение на простые множители. Существует множество алгоритмов факторизации целого, с помощью которых можно факторизовать любое натуральное число до состава его простых множителей с помощью рекуррентных формул. Однако, для очень больших чисел эффективный алгоритм пока неизвестен.

Гауссовы числа

Кольцо гауссовых чисел факториально, то есть разложение на простые множители однозначно с точностью до их порядка и ассоциированности (умножения на делители единицы).

Многочлены