Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер




04.08.2021


03.08.2021


03.08.2021


03.08.2021


03.08.2021





Яндекс.Метрика





Разбиение Хегора

14.06.2021

Разбиение Хегора — разбиение компактного ориентированного трёхмерного многообразия на два тела с ручками.

Названо в честь Поула Хегора, который положил начало изучению таких разбиений в 1898 году.

Конструкция

Для любого компактного трёхмерного многообразия M {displaystyle M} существует поверхность S {displaystyle S} , разрезающая M {displaystyle M} на два тела с ручками, то есть на многообразия, гомеоморфные замкнутой области евклидова пространства, ограниченной поверхностью.

Род поверхности S {displaystyle S} называется родом разбиения. Разбиение M {displaystyle M} называется минимальным, если M {displaystyle M} не допускает разбиения меньшего рода. Минимальное значение рода поверхности называется родом Хегора многообразия M {displaystyle M} .

Примеры

  • Трёхмерная сфера S 3 {displaystyle S^{3}} допускает разбиение Хегора рода ноль. Иначе говоря, 2-мерная сфера разрезает S 3 {displaystyle S^{3}} на два шара.
    • Более того, все многообразия, допускающие разбиение Хегора рода ноль, гомеоморфны S 3 {displaystyle S^{3}} .
  • Вложенный тор разбивает сферу на два полнотория, это даёт другое разбиение Хегора S 3 {displaystyle S^{3}} рода 1. (См. также расслоение Хопфа.)
  • Линзовые пространства допускают разбиение Хегора рода один. Иначе говоря, любое линзовое пространство можно разрезать тором на два полнотория.

Свойства

  • Лемма Александера: с точностью до изотопии, существует единственное (кусочно-линейное) вложение двумерной сферы в трёхмерную сферу.
    • Эту теорему можно переформулировать следующим образом: трёхмерная сфера S 3 {displaystyle S^{3}} допускает единственное разбиение Хегора рода ноль.
  • Теорема Вальдхаузена: каждое разбиение S 3 {displaystyle S^{3}} получается из разбиения рода ноль путём операции связной суммы с разбиением сферы рода 1.
  • Теорема Райдемейстера — Зингера: для любой пары разбиений H 1 {displaystyle H_{1}} и H 2 {displaystyle H_{2}} многообразия M {displaystyle M} существует третье разбиение H {displaystyle H} , которое является стабилизацией обоих. То есть H {displaystyle H} можно получить из H 1 {displaystyle H_{1}} и H 2 {displaystyle H_{2}} путём взятия связной суммы с разбиением S 3 {displaystyle S^{3}} рода 1.
  • Любая минимальная поверхность в трёхмерном римановом многообразии положительной кривизны задаёт разложение Хегора.