Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер




20.06.2021


19.06.2021


19.06.2021


18.06.2021


18.06.2021





Яндекс.Метрика





Стягиваемое пространство

20.05.2021

Стягиваемое пространство — топологическое пространство, гомотопически эквивалентное точке. Это условие равносильно тому, что тождественное отображение на X {displaystyle X} гомотопно постоянному.

Локально стягиваемое пространство — топологическое пространство, каждая точка которого обладает стягиваемой окрестностью.

Свойства

Пространство X {displaystyle X} стягиваемо тогда и только тогда, когда существует x 0 ∈ X {displaystyle x_{0}in X} такое, что { x 0 } {displaystyle {x_{0}}} — деформационный ретракт пространства X {displaystyle X} .

Стягиваемые пространства всегда односвязны; обратное утверждение, в общем случае, не имеет места, стягиваемость — более сильное ограничение, чем односвязность.

Всякое непрерывное отображение стягиваемых пространств является гомотопической эквивалентностью. Два любых непрерывных отображения произвольного пространства в стягиваемое гомотопны; притом если два любых непрерывных отображения в X {displaystyle X} гомотопны, то X {displaystyle X} — стягиваемое пространство.

Конус C X {displaystyle mathrm {C} X} для данного пространства X {displaystyle X} — стягиваемое пространство, таким образом, любое пространство X {displaystyle X} может быть вложено в стягиваемое, что, в свою очередь, свидетельствует о том, что не всякое подпространство стягиваемого пространства стягиваемо. Кроме того, X {displaystyle X} стягиваемо тогда и только тогда, когда существует ретракция C X → X {displaystyle mathrm {C} X o X} .

Примеры и контрпримеры

Стягиваемы n {displaystyle n} -мерное вещественное пространство R n {displaystyle mathbb {R} ^{n}} , любое выпуклое подмножество евклидова пространства, в частности — n {displaystyle n} -мерный шар.

Сфера в бесконечномерном гильбертовом пространстве стягиваема, но при этом n {displaystyle n} -мерные евклидовы сферы нестягиваемы. Всякое непрерывное отображение n {displaystyle n} -мерной сферы в стягиваемое пространство можно непрерывно продолжить на n + 1 {displaystyle n+1} -мерный шар.

Другие примечательные стягиваемые пространства — многообразие Уайтхеда (трёхмерное многообразие, не гомеоморфное R 3 {displaystyle mathbb {R} ^{3}} ), многообразие Мазура (четырёхмерное гладкое многообразие с краем, не диффеоморфное четырёхмерному шару), дом Бинга, шутовской колпак.

Все многообразия и CW-комплексы локально стягиваемы, но не стягиваемы в общем случае.