Алгебры вершинных операторов впервые были введены Ричардом Борчердсом в 1986 году. Имеет важное значение для теории струн, конформной теории поля и для смежных областей физики. Аксиомы алгебры вершинных операторов — это формальная алгебраическая интерпретация того, что физики называют хиральной алгеброй.
Алгебры вершинных операторов оказались полезными в чисто математических направлениях, таких как геометрическое соответствие Ленглендса (англ.) и доказательство гипотезы чудовищного вздора.
Примеры
- Решётка Z в R даёт супералгебру вершинных операторов, соответствующую одному комплексному фермиону. Это ещё один способ формулировки бозонно-фермионного соответствия. Фермионное поле ψ(z) и его сопряжённое поле ψ†(z) определяются выражением:
ψ ( z ) = ∑ e n z − n − 1 , ψ † ( z ) = ∑ e n ∗ z n , { e n , e m } = 0 , { e m , e n ∗ } = δ m , n I . {displaystyle psi (z)=sum e_{n}z^{-n-1}, psi ^{dagger }(z)=sum e_{n}^{*}z^{n}, {e_{n},e_{m}}=0, {e_{m},e_{n}^{*}}=delta _{m,n}I.} Соответствие между фермионами и одним заряженным бозонным полем ϕ ( z ) = ∑ a n z − n − 1 , [ a m , a n ] = m δ n + m , 0 I , U a n U − 1 = a n − δ n , 0 I {displaystyle phi (z)=sum a_{n}z^{-n-1}, [a_{m},a_{n}]=mdelta _{n+m,0}I, Ua_{n}U^{-1}=a_{n}-delta _{n,0}I} принимает вид ϕ ( z ) = : ψ † ( z ) ψ ( z ) : {displaystyle phi (z)=;colon psi ^{dagger }(z)psi (z)colon } ψ ( z ) = U : exp ∫ ϕ ( z ) : {displaystyle psi (z)=U;colon exp int phi (z)colon } где нормальные экспоненты интерпретируется как вершинные операторы.
- Решётка √2 Z в R даёт алгебру вершинных операторов, соответствующую аффинной алгебре Каца — Муди (англ.) для SU(2) на первом уровне. Она реализуется полями
H ( z ) = ϕ ( z ) ⊗ I − I ⊗ ϕ ( z ) {displaystyle H(z)=phi (z)otimes I-Iotimes phi (z)} E ( z ) = ψ ( z ) ⊗ ψ † ( z ) {displaystyle E(z)=psi (z)otimes psi ^{dagger }(z)} F ( z ) = ψ † ( z ) ⊗ ψ ( z ) {displaystyle F(z)=psi ^{dagger }(z)otimes psi (z)}
Главная
