Альтернатива Титса

Альтернатива Титса — теорема о строении конечно порожденных линейных групп. Названа в честь Жака Титса.

Формулировка

Пусть G {displaystyle G} конечно порождённая линейная группа над некоторым полем. Тогда для G {displaystyle G} выполняется в точности одно из следующих утверждений

• Либо G {displaystyle G} почти разрешима, то есть содержит разрешимую подгруппу конечного индекса.
• Либо G {displaystyle G} содержит подгруппу, изоморфную свободной группе с двумя образующими.

Следствия

• Линейная группа не аменабельна, тогда и только тогда, когда она содержит неабелеву свободную группу.
  • Иначе говоря, гипотеза фон Неймана справедлива и для линейных групп.
• Альтернатива Титса является важным компонентом в доказательстве теоремы Громова о группах полиномиального роста.

Вариации и обобщения

Говорят, что группа G {displaystyle G} удовлетворяет альтернативе Титса, если для каждая подгруппы H < G {displaystyle H<G} почти разрешима или содержит неабелеву свободную подгруппу. Иногда в определении дополнительно предполагают, что H {displaystyle H} конечно порождена.

Примеры групп, удовлетворяющих альтернативе Титса, включают линейные группы, а также:

• Гиперболические группы
• Группа классов преобразований поверхности
• O u t ( F n ) {displaystyle Out(F_{n})}

Примеры групп, не удовлетворяющих альтернативе Титса:

• Группа Григорчука;
• Группа F Томпсона.

О доказательстве

В доказательстве рассматривают замыкание G ¯ {displaystyle {ar {G}}} группы G {displaystyle G} в топологии Зарисского. Если G ¯ {displaystyle {ar {G}}} разрешима, то и группа G {displaystyle G} разрешима. В противном случае переходят к рассмотрению образа G {displaystyle G} в компоненте Леви G ¯ {displaystyle {ar {G}}} . Если она некомпактна, то пинг-понг лемма завершает доказательство. Если она компактна, то либо все собственные значения элементов в образе G {displaystyle G} корни единицы, а значит, образ G {displaystyle G} конечен, или можно найти вложение, для которого применима пинг-понг лемма.