Сопряжённые уравнения

Сопряжённые уравнения — уравнения с операторами, сопряжёнными друг другу:

A u = f {displaystyle Au=f} , A ∗ v = l {displaystyle A^{*}v=l} .

Широко используются в решении задач математической физики. Зачастую практическое значение имеет не само решение задачи A u = f {displaystyle Au=f} , а значение линейного функционала ( l , u ) {displaystyle (l,u)} . Учитывая, что ( l , u ) = ( l , A − 1 f ) = ( ( A − 1 ) ∗ l , f ) = ( ( A ∗ ) − 1 l , f ) = ( v , f ) {displaystyle (l,u)=(l,A^{-1}f)=((A^{-1})^{*}l,f)=((A^{*})^{-1}l,f)=(v,f)} , видно, что вместо решения многих уравнений с разными правыми частями f {displaystyle f} можно один раз решить сопряжённое уравнение, после чего просто вычислять значение функционала.