Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер




21.09.2021


21.09.2021


19.09.2021


19.09.2021


18.09.2021





Яндекс.Метрика





Функция Вейерштрасса

07.03.2021

Функция Вейерштрасса — пример непрерывной функции, нигде не имеющей производной; контрпример для гипотезы Ампера.

Функция Вейерштрасса задается на всей вещественной прямой единым аналитическим выражением

w ( x ) = ∑ n = 0 ∞ b n cos ⁡ ( a n π x ) , {displaystyle w(x)=sum _{n=0}^{infty }b^{n}cos(a^{n}pi x),}

где a {displaystyle a} — произвольное нечётное число, не равное единице, а b {displaystyle b} — положительное число, меньшее единицы. Этот функциональный ряд мажорируется сходящимся числовым рядом

∑ n = 0 ∞ b n , {displaystyle sum _{n=0}^{infty }b^{n},}

поэтому функция w {displaystyle w} определена и непрерывна при всех вещественных x {displaystyle x} . Тем не менее, эта функция не имеет производной по крайней мере при

a b > 3 2 π + 1. {displaystyle ab>{ frac {3}{2}}pi +1.}

Для доказательства отсутствия производной в произвольной точке x 0 {displaystyle x_{0}} строят две последовательности { x m } {displaystyle {x_{m}}} и { y m } {displaystyle {y_{m}}} , сходящиеся к точке x 0 {displaystyle x_{0}} , и доказывают, что отношения

w ( x m ) − w ( x 0 ) x m − x 0 {displaystyle {frac {w(x_{m})-w(x_{0})}{x_{m}-x_{0}}}} и w ( y m ) − w ( x 0 ) y m − x 0 {displaystyle {frac {w(y_{m})-w(x_{0})}{y_{m}-x_{0}}}}

имеют разные знаки по крайней мере при

a b > 3 2 π + 1 {displaystyle ab>{ frac {3}{2}}pi +1} и a > 1 {displaystyle a>1} .

Указанные последовательности могут быть определены как

x m = γ m − 1 a m {displaystyle x_{m}={frac {gamma _{m}-1}{a^{m}}}} и y m = γ m + 1 a m , {displaystyle y_{m}={frac {gamma _{m}+1}{a^{m}}},}

где γ m {displaystyle gamma _{m}} — ближайшее целое число к a m x 0 {displaystyle a^{m}x_{0}} .

Отсутствие производной во всех точках при более общих условиях

a b ⩾ 1 {displaystyle abgeqslant 1} и a > 1 {displaystyle a>1}

было установлено Харди.

Историческая справка

В 1806 году Ампер предпринял попытку доказать аналитически, что всякая «произвольная» функция дифференцируема всюду, за исключением «исключительных и изолированных» значений аргумента. При этом принималась за очевидное возможность разбиения интервала изменения аргумента на части, в которых функция была бы монотонна. С этими оговорками гипотезу Ампера можно рассматривать как нестрогую формулировку теоремы Лебега. В первой половине XIX века предпринимались попытки доказать гипотезу Ампера для более широкого класса, именно для всех непрерывных функций. В 1861 году Риман привёл своим слушателям в качестве контрпримера следующую функцию:

r ( x ) = ∑ n = 1 ∞ sin ⁡ n 2 x n 2 , {displaystyle r(x)=sum limits _{n=1}^{infty }{frac {sin n^{2}x}{n^{2}}},}

однако исследование дифференцируемости этой функции чрезвычайно сложно. Джозеф Гервер (англ. Joseph Gerver) доказал, что эта функция всё же имеет производную в некоторых рациональных точках, лишь в 1970 году. В 1872 году Вейерштрасс указал более простой контрпример — введённую выше функцию w {displaystyle w} и представил строгое доказательство её недифференцируемости. В печати этот пример впервые появился в 1875 году в работе П. Дюбуа-Реймона. Ещё более простой пример принадлежит ван дер Вардену (1930):

v ( x ) = ∑ n = 0 ∞ { 10 n x } 10 n , {displaystyle v(x)=sum limits _{n=0}^{infty }{frac {{10^{n}x}}{10^{n}}},}

где фигурные скобки означают взятие дробной части.