Вполне упорядоченное множество

Вполне упорядоченное множество — линейно упорядоченное множество M такое, что в любом его непустом подмножестве есть минимальный элемент, другими словами, это фундированное множество с линейным порядком.

Примеры

• Пустое множество является вполне упорядоченным.
• Простейший пример бесконечного вполне упорядоченного множества — множество натуральных чисел с естественным упорядочением.
• Множество целых чисел не является вполне упорядоченным, так как, например, среди отрицательных чисел нет наименьшего. Однако его можно сделать вполне упорядоченным, если определить нестандартное отношение «меньше или равно», которое обозначим ≼ {displaystyle preccurlyeq } и определим следующим образом:

a ≼ b , {displaystyle apreccurlyeq b,} если либо a = b , {displaystyle a=b,} либо | a | < | b | , {displaystyle |a|<|b|,} либо | a | = | b | {displaystyle |a|=|b|} и a < 0 < b . {displaystyle a<0<b.} Тогда порядок целых чисел будет таким: 0 ≼ − 1 ≼ 1 ≼ − 2 ≼ 2 … {displaystyle 0preccurlyeq -1preccurlyeq 1preccurlyeq -2preccurlyeq 2dots } В частности, − 1 {displaystyle -1} будет наименьшим отрицательным числом.

• Простейшим примером несчётного вполне упорядоченного множества является совокупность всех счётных порядковых чисел, упорядоченных отношением ∈ {displaystyle in } . В предположении континуум-гипотезы его мощность равна мощности континуума.

Свойства

• Согласно теореме Цермело, если принять аксиому выбора, то любое множество можно вполне упорядочить. Более того, утверждение о существовании полного порядка для любого множества эквивалентно аксиоме выбора. В частности, при наличии аксиомы выбора, множество вещественных чисел можно вполне упорядочить.
• Если X и Y — два вполне упорядоченных множества, то либо они изоморфны друг другу, либо ровно одно из них изоморфно начальному отрезку другого.