Пятискатная прямая биротонда

Пятискатная прямая биротонда — один из многогранников Джонсона (J34, по Залгаллеру — 2М9).

Составлена из 32 граней: 20 правильных треугольников и 12 правильных пятиугольников. Среди пятиугольных граней 2 окружены пятью треугольными, остальные 10 — пятиугольной и четырьмя треугольными; среди треугольных граней 10 окружены тремя пятиугольными, другие 10 — двумя пятиугольными и треугольной.

Имеет 60 рёбер одинаковой длины. 5 рёбер располагаются между двумя пятиугольными гранями, 50 рёбер — между пятиугольной и треугольной, 5 рёбер — между двумя треугольными.

У пятискатной прямой биротонды 30 вершин. В каждой сходятся две пятиугольных и две треугольных грани.

Пятискатную прямую биротонду можно получить из икосододекаэдра, разделив его на две половины, каждая из которых представляет собой пятискатную ротонду (J6), и повернув одну из них на 36° вокруг её оси симметрии.

Объём и площадь поверхности при этом не изменятся; описанная и полувписанная сферы полученного многогранника также совпадают с описанной и полувписанной сферами исходного икосододекаэдра.

Метрические характеристики

Если пятискатная прямая биротонда имеет ребро длины a {displaystyle a} , её площадь поверхности и объём выражаются как

S = ( 5 3 + 3 25 + 10 5 ) a 2 ≈ 29,305 9828 a 2 , {displaystyle S=left(5{sqrt {3}}+3{sqrt {25+10{sqrt {5}}}} ight)a^{2}approx 29{,}3059828a^{2},} V = 1 6 ( 45 + 17 5 ) a 3 ≈ 13,835 5259 a 3 . {displaystyle V={frac {1}{6}}left(45+17{sqrt {5}} ight)a^{3}approx 13{,}8355259a^{3}.}

Радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен

R = 1 2 ( 1 + 5 ) a ≈ 1,618 0340 a ; {displaystyle R={frac {1}{2}}left(1+{sqrt {5}} ight)aapprox 1{,}6180340a;}

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

ρ = 1 2 5 + 2 5 a ≈ 1,538 8418 a . {displaystyle ho ={frac {1}{2}}{sqrt {5+2{sqrt {5}}}};aapprox 1{,}5388418a.}