Арифметико-геометрическая прогрессия

Арифметико-геометрическая прогрессия — последовательность чисел u n {displaystyle u_{n}} , задаваемая рекуррентным соотношением u n + 1 = q u n + d {displaystyle u_{n+1}=qu_{n}+d} , где q {displaystyle q} и d {displaystyle d} — константы. Частными случаями арифметико-геометрической прогрессии являются арифметическая прогрессия (при q = 1 {displaystyle q=1} ) и геометрическая прогрессия (при d = 0 {displaystyle d=0} ).

Формула для общего члена

Рассмотрим исходное соотношение: u n + 1 = q u n + d {displaystyle u_{n+1}=qu_{n}+d} при n = 1 , 2 , . . . {displaystyle n=1,2,...}

Пусть в этом соотношении q ≠ 1 {displaystyle q eq 1} и d ≠ 0 {displaystyle d eq 0} . Прибавив к обеим частям выражение d q − 1 {displaystyle {frac {d}{q-1}}} , получаем

u n + 1 + d q − 1 = q ( u n + d q − 1 ) {displaystyle u_{n+1}+{dfrac {d}{q-1}}=qleft(u_{n}+{dfrac {d}{q-1}} ight)} u n + d q − 1 = q ( u n − 1 + d q − 1 ) {displaystyle u_{n}+{dfrac {d}{q-1}}=qleft(u_{n-1}+{dfrac {d}{q-1}} ight)} … {displaystyle ldots } u 3 + d q − 1 = q ( u 2 + d q − 1 ) {displaystyle u_{3}+{dfrac {d}{q-1}}=qleft(u_{2}+{dfrac {d}{q-1}} ight)} u 2 + d q − 1 = q ( u 1 + d q − 1 ) {displaystyle u_{2}+{dfrac {d}{q-1}}=qleft(u_{1}+{dfrac {d}{q-1}} ight)}

Перемножив указанные равенства и сократив одинаковые сомножители (или подставив вместо скобок в правой части левую часть следующего по порядку уравнения), получим явную формулу члена арифметико-геометрической прогрессии:

u n + 1 = q n ( u 1 + d q − 1 ) − d q − 1 {displaystyle u_{n+1}=q^{n}(u_{1}+{frac {d}{q-1}})-{frac {d}{q-1}}}

Свойства

• Арифметико-геометрическая прогрессия является возвратной последовательностью второго порядка и задаётся уравнением:

u n + 1 = ( q + 1 ) u n − q u n − 1 {displaystyle u_{n+1}=(q+1)u_{n}-qu_{n-1}}

• Разность d {displaystyle d} арифметико-геометрической прогрессии определяется по формуле

d = u n 2 − u n − 1 u n + 1 u n − u n − 1 {displaystyle d={frac {u_{n}^{2}-u_{n-1}u_{n+1}}{u_{n}-u_{n-1}}}}

• Последовательность a n = u n + 1 − u n {displaystyle a_{n}=u_{n+1}-u_{n}} является геометрической прогрессией с тем же знаменателем q {displaystyle q} .

• Последовательность частичных сумм членов арифметико-геометрической прогрессии является возвратной последовательностью третьего порядка и задаётся уравнением:

S n + 1 = ( q + 2 ) S n − ( 2 q + 1 ) S n − 1 + q S n − 2 {displaystyle S_{n+1}=(q+2)S_{n}-(2q+1)S_{n-1}+qS_{n-2}}

• Если последовательность частичных сумм является арифметико-геометрической прогрессией, то сама последовательность является геометрической прогрессией.