Замыкание (топология)

Замыкание — конструкция, дающая наименьшее замкнутое множество, содержащее данное множество топологического пространства.

Замыкание множества S {displaystyle S} обычно обозначается S ¯ . {displaystyle {ar {S}}.} Другие обозначения: cl ⁡ ( S ) , Cl ⁡ ( S ) . {displaystyle operatorname {cl} (S),operatorname {Cl} (S).}

Определения

Следующие два определения равносильны.

Как наименьшее замкнутое множество

Пусть S {displaystyle S} есть подмножество топологического пространства X . {displaystyle X.} Замыканием S {displaystyle S} в X {displaystyle X} называется пересечение всех замкнутых множеств, содержащих S . {displaystyle S.}

Замечание. Поскольку пересечение произвольного семейства замкнутых множеств замкнуто, замыкание всегда замкнуто.

Через точки прикосновения

Точка x {displaystyle x} топологического пространства X {displaystyle X} называется точкой прикосновения множества S , {displaystyle S,} если любая окрестность x {displaystyle x} содержит хотя бы одну точку множества S . {displaystyle S.}

Множество всех точек прикосновения S {displaystyle S} называется замыканием S . {displaystyle S.}

Свойства

Замыкание множества замкнуто.

Замыкание множества содержит само множество, то есть S ⊆ S ¯ . {displaystyle Ssubseteq {ar {S}}.}

Замыкание множества содержит все его предельные точки.

Множество замкнуто тогда и только тогда, когда оно совпадает со своим замыканием, то есть S = S ¯ . {displaystyle S={ar {S}}.}

Свойство идемпотентности: повторное применение операции замыкания не изменяет результат (что сразу вытекает из свойств 1 и 4): S ¯ ¯ = S ¯ . {displaystyle {ar {ar {S}}}={ar {S}}.}

Замыкание сохраняет отношение вложения, то есть ( S ⊂ T ) ⇒ ( S ¯ ⊂ T ¯ ) . {displaystyle (Ssubset T)Rightarrow ({ar {S}}subset {ar {T}}).}

Замыкание объединения есть объединение замыканий, то есть S ∪ T ¯ = S ¯ ∪ T ¯ . {displaystyle {overline {Scup T}}={ar {S}}cup {ar {T}}.}

Замыкание пересечения является подмножеством пересечения замыканий, то есть S ∩ T ¯ ⊂ S ¯ ∩ T ¯ . {displaystyle {overline {Scap T}}subset {ar {S}}cap {ar {T}}.}

Примеры

Во всех нижеследующих примерах топологическим пространством является числовая прямая R {displaystyle mathbb {R} } с заданной на ней стандартной топологией.

• ( a , b ) ¯ = [ a , b ] ; {displaystyle {overline {(a,;b)}}=[a,;b];}
• Q ¯ = R , {displaystyle {ar {mathbb {Q} }}=mathbb {R} ,} где Q {displaystyle mathbb {Q} } — множество рациональных чисел.